Syllabus del corso
Obiettivi
Fornire allo studente nozioni di base dell'analisi matematica al fine di acquisire le competenze necessarie per lo studio
e l'interpretazione di fenomeni fisici ed
ambientali.
Sviluppare capacità logiche e analitiche per affrontare la risoluzione di problemi ed esercizi.
Acquisire autonomia di giudizio nella applicazione delle metodologie apprese.
Essere
in grado di esporre in modo preciso ed esaustivo sia le conoscenze
teoriche acquisite che le soluzioni, sviluppate in autonomia, di
esercizi e problemi.
Contenuti sintetici
Numeri reali. Disequazioni. Calcolo Combinatorio. Funzioni reali di variabile reale.
Limiti. Continuità. Derivata. Formula di Taylor. Studio di funzione. Integrale.
Programma esteso
Insiemi: sottoinsiemi, relazioni e operazioni fra insiemi; punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Insiemi limitati e illimitati. Insiemi numerabili. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di insiemi. L'insieme dei numeri reali; sua non numerabilità.
Disequazioni
Calcolo Combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici, permutazioni semplici, formula del binomio di Newton.
Funzioni: definizione, diagramma, funzione composta e funzione inversa; monotonia; convessità. Funzioni elementari: potenze, esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente, loro proprietà e diagrammi; funzioni inverse di seno, coseno e tangente loro proprietà e diagrammi.
Limiti: definizione, teoremi di: unicità del limite, della permanenza del segno, di esistenza del limite per funzioni monotone, del confronto; calcolo dei limiti. Infiniti, infinitesimi, loro confronto e teoremi fondamentali.
Continuità: definizione, punti di discontinuità, continuità uniforme; teoremi di Weierstrass, di Heine-Cantor, degli zeri e di Darboux. Limiti notevoli e limiti da questi dedotti.
Derivabilità: definizione, significato geometrico. Implicazione di continuità; derivata delle funzioni elementari; regole di derivazione: somma, prodotto, reciproco, quoziente; derivata della funzione composta e dell'inversa. Differenziale e suo significato geometrico. Teoremi di Rolle, Lagrange e suoi corollari. Formula di Taylor e di Mac Laurin.
Studio di funzione: crescere e decrescere e legame con la derivata prima. Condizioni per l'esistenza di massimi e minimi relativi; teorema di riconoscimento di massimi e minimi relativi per funzioni n volte derivabili, verso della concavità, asintoti.
Integrabilità: definizione, proprietà dell'integrale definito, condizioni sufficienti di integrabilità. Teoremi del valor medio e di Torricelli-Barrow, fondamentale del calcolo integrale. Funzioni primitive; integrale indefinito. Regole di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrale in senso generalizzato.
Prerequisiti
Algebra elementare: monomi, polinomi e operazioni fra polinomi. Trigonometria: definizione di seno, coseno e tangente; loro proprietà e relazioni. Geometria analitica: equazioni di retta, circonferenza, ellisse, parabola, iperbole; intersezioni di figure piane. Funzioni esponenziali e logaritmi.
Modalità didattica
Lezioni teoriche (erogate in aula o da remoto, in linea con le disposizioni di ateneo) in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, teoremi ed esempi rilevanti ed esercitazioni (erogate in aula o da remoto, in linea con le disposizioni di ateneo) in cui si tentano di fornire competenze e abilità necessarie per utilizzare tali nozioni nella risoluzione di esercizi.
Materiale didattico
A. Guerraggio: Matematica Generale, nuova edizione, Bollati Boringhieri
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale.
Esame scritto: l'esame scritto consiste in domande aperte. Si richiede uno studio di funzione ed esercizi analoghi a quelli svolti in classe sul programma svolto. L'esame scritto puo' essere sostituito dal supermento di due prove parziali svolte durante il corso.
Esame orale: si puo' accedere all'esame orale con un punteggio maggiore o uguale 16 nello scritto. L'esame orale consiste in una discussione dello scritto e in domande sulle definizioni e teoremi in programma.
Modalita' d'esame online:
esame scritto a risposta multipla
Chi supera l'esame con un punteggio superiore a 18 puo' accedere alla prova orale . Al 18 si sommano i punti accumulati con i test durante l'anno. La prova orale sara' erogata nei giorni immediatamente seguenti allo scritto in date da concordare con gli studenti che hanno superato lo scritto.
Orario di ricevimento
Per appuntamento
Aims
Provide the student with basic notions of mathematical analysis in order to acquire the skills necessary for the study of physical and environmental phenomena.
Develop logical and analytical skills to solve problems and exercises.
Acquire autonomy of judgment in the application of the methods learned.
Being able to express in a precise and exhaustive way both the theoretical knowledge acquired and the solutions, developed independently, of exercises and problems.
Contents
Real numbers. Inequalities. Combinatorics. Limits. Continuity. Derivatives. Functions and their graph. . Taylor's formulas. Integrability.
Detailed program
Sets: subsets, operations and relations between sets; interior, exterior, boundary, isolated and limit points. Open and closed sets. Bounded and unbounded sets. Countable sets. Supremum, infimum, maximum and minimum. The set of real numbers. The real number are uncountable.
Inequalities
Combinatorics: sequences with and without repetitions. Permutations. Combinations. Newton's binomial formula.
Functions: definition, graph, composite function and inverse function, monotonicity, convexity. Elementary functions: polynomials, exponentials, logarithms, sine, cosine and tanget, their properites and graphs; inverse functions of sine, cosine and tangent, their properties and graphs.
Limits: definition, theorems: uniqueness of the limit, permanence of the sign, existence of the limit for monotone functions, comparison theorem, calculus of limits. Comparison between infinite and infinitesimal functions and fundamental theorems.
Continuity: definition, discontinuity and continuity points, uniform continuity. The Weierstrass, Heine-Cantor, zeros and Darboux theorems. Common limits.
Derivatives: definition, geometric meaning. Implication of continuity, derivatives of elementary functions, calculus of derivatives: sum, product, reciprocal, quotient, derivative of the composite and inverse functions. The differential and its geometric meaning. Rolle theorem, Lagrange theorem and its corollaries. Taylor's and Mac Laurin's formulas.
Functions and their graph: increasing and decreasing functions and relation with their derivatives. Conditions for the existence of local maximum and minimum; Maxima and minima for n times differentiable functions. Convexity and asymptotes.
Integrability: definition, properties of the definite integral, sufficient conditions for integrability. Mean value and Torricelli-Barrow theorems, the fundamental theorem of calculus. Primitive functions, indefinite integrals. Integration rules: decomposition, substitution and by parts. Improper integrals.
Prerequisites
Elementary algebra: monomials, polynomials and operations with polynomials. Trigonometry: definition of sine, cosine and tangent, their properties and relations. Analytical geometry: equations of line, circle, ellipse, parabola, hyperbola; intersections of plane figures. Exponential functions and logarithms.
Teaching form
Textbook and teaching resource
A. Guerraggio: Matematica Generale, nuova edizione, Bollati Boringhieri
Semester
First semester
Assessment method
Written and oral exam.
Written exam: the written exam consists of open questions. It requires a function study and exercises similar to those carried out in class on the program performed. The written exam can be replaced by the passing of two partial tests carried out during the course.
Oral exam: the students can take the oral exam with a score greater than or equal to 16 in the written. The oral exam consists of a discussion of the written test and questions about definitions and theorems in the program.
Exam methods online
written exam : test with multiple choice
Oral exam: Those who pass the exam with a score above 18 can access the oral exam. At 18 the points accumulated with tests during the year are added. The oral exam will be delivered in the days immediately following the written test on dates to be agreed with the students who have passed the written test.
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