Syllabus del corso

Esporta

  • Conoscere e comprendere i concetti di base e i fondamenti delle tecniche di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale.
  • Acquisire la capacità di elaborazione critica e autonoma dei concetti fondamentali appresi.
  • Acquisite la capacità di calcolo sulla base di esercizi e problemi svolti sia sotto la direzione del docente che in autonomia.
  • Essere in grado di esporre in modo rigoroso e preciso le conoscenze teoriche acquisite e la soluzione di problemi ed esercizi.

    • I numeri reali, operazioni e loro proprietà. Funzioni elementari, proprietà e loro grafici. Successioni numeriche, limiti di  successione,  proprietà e tecniche di calcolo.  Forme di indecisione.  Confronto di infiniti.  Serie numeriche, criteri di convergenza.  Limiti di funzione. Continuità. La derivata, i teoremi del calcolo differenziale. Il teorema di Taylor.  Funzioni primitive e integrale indefinito.  Integrale di Riemann. Integrali generalizzati.


    Numeri reali. Numeri naturali N, interi relativi Z. Principio di induzione. Il campo Q di numeri razionali: proprietà e mancanze. L'equazione x2 = 2 non ha soluzioni in Q. I numeri reali R come numeri decimali. L'asse reale, ordinamento. Intervalli. Intorni. Valore assoluto. Insieme limitato in R. Massimo e minimo. Estremo superiore, estremo inferiore di un insieme di numeri reali. I numeri reali come campo ordinato, completo. Radici, potenze e logaritmi.

    Funzioni reali di una variabile reale. Definizione. Dominio e immagine. Grafico di una funzione. Funzioni elementari: potenze, esponenziali, funzioni logaritmiche. La successione come una funzione definita in N. Funzione limitata. Massimo, minimo, estremo superiore, inferiore di una funzione. Proprietà di una funzione reale: iniettiva, suriettiva, bijettiva, crescente, decrescente, monotona, convessa, concava, pari, dispari. Estremanti, punti di minimo assoluto o relativo. Riconoscimento delle definizioni date dalla lettura del grafico. Funzione composta, funzione inversa. Funzioni periodiche, funzioni trigonometriche e loro inverse. Risoluzione delle disequazioni mediante inversione delle funzioni iniettive e monotone.

    Numeri complessi. Il campo C dei numeri complessi: forma algebrica, operazioni, uguaglianza. Rappresentazione nel piano complesso. Coordinate polari, modulo e argomento, forma trigonometrica ed esponenziale. Formula delle radici n-esime di un numero complesso (soluzioni in C dell'equazione zn = w). Il teorema fondamentale dell'algebra.

    Limiti. Limiti di una successione e di funzioni. Proprietà: unicità del limite , permanenza del segno , esistenza del limite per le funzioni monotone. Criterio del confronto. Operazioni con limiti, forme di indecisione. Il criterio del rapporto.  Il numero di Nepero. Limiti notevoli.  Simbolo di Landau asintotico, o piccolo.  Ordine di un infinitesimo / infinito, rispetto ad un campione.

    Serie numeriche.  Successione delle somme parziali.  Carattere di una serie. Serie regolare: convergente, divergente. Serie irregolare.  Serie geometrica, serie armonica, armonica generalizzata.  Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: regolarità delle serie a termini positivi. Criteri di convergenza: confronto , confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto. Serie con segni alterni e criterio di Leibniz. Convergenza semplice e assoluta.

    Continuità. Funzione continua in un punto, continua su un insieme. Classificazione delle discontinuità. Operazioni tra funzioni continue, continuità della funzione  composta. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass, degli zeri , di Darboux (o dei valori intermedi) .  Continuità e monotonia.  Continuità della funzione inversa.

    Calcolo differenziale. Derivata e sua interpretazione geometrica. Equivalenza tra derivabilità e differenziabilità per funzioni di una variabile reale. Equazione della linea tangente. Punti di non-derivabilità. Continuità e derivabilità .  Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari.  Teoremi del calcolo differenziale:  Fermat , Rolle , Lagrange  e suoi corollari, esempi e controesempi.  I teoremi di De l'Hòpital. Derivate ​​di ordine superiore.  Approssimazione polinomiale: formula di Taylor, resto di Peano e resto di Lagrange.  Convessità e punti di flesso.  Uso delle derivate di ordine superiore per stabilire la natura di un punto stazionario . Asintoti.  Studio del grafico di una funzione.  Funzioni primitive e integrale indefinito. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva.  Integrazione per parti, per sostituzione (cambio di variabile).  Integrazione di funzioni razionali.

    L'integrale di Riemann. Definizione e sue proprietà.  Il teorema del valor medio integrale.  Funzione integrale,  integrazione e differenziazione .  Il teorema fondamentale del calcolo.  Integrali generalizzati, definizioni ed esempi.




    Operazioni tra insiemi, unione, intersezione; appartenenza e  inclusione. Operazioni e confronto tra numeri reali, ordinamento. Proprietà delle potenze.  Equazioni di secondo grado.  Sviluppo binomiale.  Polinomi, divisione tra polinomi, radice di un polinomio, la regola di Ruffini.  Scomposizione in fattori.  Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali. Coordinate cartesiane.  La retta , la parabola, il cerchio. Gradi e radianti.  Elementi di trigonometria.  Sistemi di equazioni di primo grado.



    Lezioni frontali di carattere teorico ed esercitazioni.


    Libri consigliati

    • Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa Analisi matematica 1. Zanichelli 2014.
    • Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica. Zanichelli 2011.

    Di entrambi sono disponibili versioni in formato E-book

    Dispense di Analisi Matematica 1 disponibili online

    Ulteriore materiale didattico

    Sulla piattaforma E-Learning verranno resi disponibili note, esercizi ed altro materiale su argomenti specifici del corso.


    Primo Semestre

    La verifica del profitto è attraverso un esame scritto con eventuale colloquio orale. Sono previste inoltre due prove in itinere che, se effettuate, esenteranno dalla prova scritta complessiva e concorreranno a determinare la votazione finale. 

    Prova scritta

    Nella prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Si richiede inoltre  la capacità di esporre le definizioni, gli enunciati dei teoremi,  gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte nel corso. La valutazione tiene conto dell'esattezza delle risposte, della completezza nonché della chiarezza espositiva.

    In accordo, la prova scritta è composta di due parti.

    ESERCIZI: risposta a quesiti simili a quelli proposti durante il corso e che richiedono l’applicazione di specifici principi o tecniche.

    DOMANDE TEORICHE: enunciato di definizioni e teoremi o esposizione di concetti di base ed esempi illustrati durante le lezioni.

    Prova orale (opzionale)

    Si tratta di un breve colloquio di discussione sullo scritto.

    Prove in itinere (opzionale)

    Durante il semestre ci saranno due prove parziali, da svolgersi con le modalità della prova scritta esposte più sopra.


    Il ricevimento è per appuntamento


    Esporta

    • To understand the ideas and techniques of differential and integral calculus for real functions of one real variable.
    • To acquire the ability for critical and autonomous elaboration of the fundamental concepts.
    • To acquire the computational skills on the base of problems and exercises solved both under the supervision of the teacher and independently.
    • To acquire the ability for rigorous exposition of the theoretical knowledges and of the solutions to problems and exercises.

    Real numbers, operations and their properties. Elementary functions, properties and their graphs.  Numerical sequences, limits of sequences, forms of indecision. Comparison of infinities. Numerical series,  convergence tests. Absolute convergence. Function limits.  Continuity. The derivative. Theorems  of differential calculus. The  Taylor's theorem. Primitive functions and indefinite integral. The Riemann Integral. Generalized integrals.

    Real numbers.  Natural numbers N, relative integers Z. Induction principle. The field Q of rational numbers. Properties and their inadequatecy: the equation x2 = 2 has no solution in Q. The real numbers field R.  Decimal representation. The real axes, ordering. Intervals. Neighbourhood.  Absolute value.  Bounded sets in R.  Maximum and  minimum. Supremum and  infimum, completeness. Roots, powers and logarithms. 

    Real functions of a real variable. Definition. Domain and range. Graph of a function. Elementary functions: powers, exponentials, logarithmic functions. The sequence as a function whose domain is the set N.  Bounded function. Maximum, minimum, superior, inferior of a function. Properties of a real function: injectivity, increasing, decreasing, monotone,  convex, concave, even, odd.  Extremal points, absolute minimum or relative (extreme). Recognition of the given definitions by reading the graph.  Composite function, inverse function. Periodic functions, trigonometric functions and their inverse. Solving the inequalities by inversion of injective and monotonic functions.

    Complex numbers. The C field of complex numbers: algebraic form, operations, equality. Representation in the complex plane. Polar coordinates, modulo and argument, trigonometric form, exponential form. De Moivre's formula. Formula of the n-th roots of a complex number * (solutions in C of the equation zn = w). The fundamental theorem of algebra.

    Limits. Limits of sequence, of functions. Properties: uniqueness of the limit, permanence of the sign, existence of the limit for monotonic functions. Comparison test.  The ratio test. Operations with  limits, indecision forms. The limit e. Notable limits. Symbol of asymptotic Landau.  Order of an infinitesimal / infinite, compared to a sample.

    Numerical series. Sequence of partial sums. Convergent, divergent, irregular series.  Geometric series,  Mengoli series,  harmonic series.  Necessary condition of convergence. Series with positive terms:  their regularity and convergence tests:  comparison, asymptotic comparison,  root and  ratio tests.  Series with alternating signs and Leibniz test. Simple and absolute convergence.

    Continuity. Continuous  function at a point,  on a set.  Classification of discontinuities. Operations between continuous functions, continuity of composite function. Properties of continuous functions in a closed and bounded interval: Weierstrass theorem,  existence of zeros,  Darboux (or intermediate values).  Continuity and monotony.  Continuity of the inverse function.

    Differential calculus. The derivative and its geometric interpretation.  Equivalence between derivability and differentiability for functions of a variable.  Equation of the tangent line. Points of non-derivability. Continuity and derivability.  Calculation rules for derivatives. Stationary points. Theorems of the differential calculus: Fermat, Rolle, Lagrange and its corollaries, examples and counterexamples. The theorems of De l'Hòpital.  Higher order derivatives. Polynomial approximation: Taylor formula, Peano remainder and Lagrange remainder. Convexity and inflection points. Use of the derivatives of higher order to establish the nature of a stationary point.  Asymptotes.  Study of the graph of a function. Primitive functions and indefinite integral. Elementary methods for the search for a primitive. Integration by parts,  by substitution (change of variable). Integration of rational functions.

    The Riemann integral.  Definition and its properties. The integral average theorem.  Integral function, integration and differentiation. The fundamental theorem of calculus.  Generalized integrals,  definitions and examples.

    Sets operations, union, intersection; membership and  inclusion. Operations and comparison between real numbers, sorting. Properties of powers.  Second-degree equations.  Binomial expansion.  Polynomials,  division between polynomials, root of a polynomial, Ruffini's rule.  Factoring.  First and second degree inequations,  rational inequalities. Cartesian coordinates.  The line,  the parabola,  the circle.  Degrees and radians.  Elements of trigonometry.  Systems of first degree equations.

    Lectures of theoretical slant and exercises sessions. 

    Suggested textbooks

    • Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa Analisi matematica 1. Zanichelli 2014.
    • Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica. Zanichelli 2011.

    Both of them are available in E-book form.

    Notes on Mathematical Analysis 1 available online

    Further teaching resources

    Notes and exercises on specific topics of the course will be shared via the E-Learning site of the teaching.


    First Semester

    Written examination with optional oral colloquium.

    The goal of the evaluation (partial, complete and oral colloquium) is to ascertain a correct assimilation of concepts and techniques studied during lessons and exercises sessions.

    Written exam

    The written exam consists of two part:

    • Exercises. The student has to solve exercises similar to those solved in the classroom and/or assigned during the lectures;
    • Theoretical questions. The student is required to state definitions and theorems from the lectures or to illustrate  basic concepts and examples taken from the lectures.

    Oral exam (optional)

    Brief discussion on the written exam.

    Partial exams (optional)

    During the semester there will be two partial exams whose evaluation could allow the students to skip the final complete written examination.


    Office hours is by appointment

    Entra

    Scheda del corso

    Settore disciplinare
    MAT/05
    CFU
    8
    Periodo
    Primo Semestre
    Tipo di attività
    Obbligatorio
    Ore
    72
    Tipologia CdS
    Laurea Triennale
    Lingua
    Italiano

    Staff

      Docente

    • SP
      Stefano Pigola

    Opinione studenti

    Vedi valutazione del precedente anno accademico

    Bibliografia

    Trova i libri per questo corso nella Biblioteca di Ateneo

    Metodi di iscrizione

    Iscrizione manuale
    Iscrizione spontanea (Studente)