Syllabus del corso
Obiettivi
- Conoscere e comprendere i concetti di base e i fondamenti delle tecniche di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale.
- Acquisire la capacità di elaborazione critica e autonoma dei concetti fondamentali appresi.
- Acquisite la capacità di calcolo sulla base di esercizi e problemi svolti sia sotto la direzione del docente che in autonomia.
- Essere in grado di esporre in modo rigoroso e preciso le conoscenze teoriche acquisite e la soluzione di problemi ed esercizi.
Contenuti sintetici
I numeri reali, operazioni e loro proprietà. Funzioni elementari, proprietà e loro grafici. Successioni numeriche, limiti di successione, proprietà e tecniche di calcolo. Forme di indecisione. Confronto di infiniti. Serie numeriche, criteri di convergenza. Limiti di funzione. Continuità. La derivata, i teoremi del calcolo differenziale. Il teorema di Taylor. Funzioni primitive e integrale indefinito. Integrale di Riemann. Integrali generalizzati.
Programma esteso
Numeri reali. Numeri naturali N, l'anello degli interi relativi Z. Principio di induzione. Il campo Q dei numeri razionali: proprietà e mancanze. L'equazione x² = 2 non ha soluzioni in Q. I numeri reali R e loro rappresentazione decimale. L'asse reale, ordinamento. Intervalli. Intorni. Valore assoluto. Insieme limitato in R. Massimo e minimo. Estremo superiore, estremo inferiore di un insieme di numeri reali. I numeri reali come campo ordinato, completo. Radici, potenze e logaritmi.
Funzioni reali di una variabile reale. Definizione. Dominio e immagine. Grafico di una funzione. Funzioni elementari: potenze, esponenziali, funzioni logaritmiche. La successione come una funzione definita in N. Funzione limitata. Massimo, minimo, estremo superiore, inferiore di una funzione. Proprietà di una funzione reale: iniettiva, suriettiva, bijettiva, crescente, decrescente, monotona, convessa, concava, pari, dispari. Estremanti, punti di minimo assoluto o relativo. Riconoscimento delle definizioni date dalla lettura del grafico. Funzione composta, funzione inversa. Funzioni periodiche, funzioni trigonometriche e loro inverse. Risoluzione delle disequazioni mediante inversione delle funzioni iniettive e monotone.
Numeri complessi. Il campo C dei numeri complessi: forma algebrica, operazioni, uguaglianza. Rappresentazione nel piano complesso. Coordinate polari, modulo e argomento, forma trigonometrica ed esponenziale. Formula delle radici n-esime di un numero complesso (soluzioni in C dell'equazione zⁿ = w). Il teorema fondamentale dell'algebra.
Limiti. Limiti di una successione e di funzioni. Proprietà: unicità del limite , permanenza del segno , esistenza del limite per le funzioni monotone. Criterio del confronto. Operazioni con limiti, forme di indecisione. Il criterio del rapporto. Il numero di Nepero. Limiti notevoli. Simbolo di Landau asintotico, o piccolo. Ordine di un infinitesimo / infinito, rispetto ad un campione.
Serie numeriche. Successione delle somme parziali. Carattere di una serie. Serie regolare: convergente, divergente. Serie irregolare. Serie geometrica, serie armonica, armonica generalizzata. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: regolarità delle serie a termini positivi. Criteri di convergenza: confronto , confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto. Serie con segni alterni e criterio di Leibniz. Convergenza semplice e assoluta.
Continuità. Funzione continua in un punto, continua su un insieme. Classificazione delle discontinuità. Operazioni tra funzioni continue, continuità della funzione composta. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass, degli zeri , di Darboux (o dei valori intermedi) . Continuità e monotonia. Continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale. Derivata e sua interpretazione geometrica. Equivalenza tra derivabilità e differenziabilità per funzioni di una variabile reale. Equazione della linea tangente. Punti di non-derivabilità. Continuità e derivabilità . Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari. Teoremi del calcolo differenziale: Fermat , Rolle , Lagrange e suoi corollari, esempi e controesempi. I teoremi di De l'Hòpital. Derivate di ordine superiore. Approssimazione polinomiale: formula di Taylor, resto di Peano e resto di Lagrange. Convessità e punti di flesso. Uso delle derivate di ordine superiore per stabilire la natura di un punto stazionario . Asintoti. Studio del grafico di una funzione. Funzioni primitive e integrale indefinito. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva. Integrazione per parti, per sostituzione (cambio di variabile). Integrazione di funzioni razionali.
L'integrale di Riemann. Definizione e sue proprietà. Il teorema del valor medio integrale. Funzione integrale, integrazione e differenziazione . Il teorema fondamentale del calcolo. Integrali generalizzati, definizioni ed esempi.
Prerequisiti
Operazioni tra insiemi, unione, intersezione; appartenenza e inclusione. Operazioni e confronto tra numeri reali, ordinamento. Proprietà delle potenze. Equazioni di secondo grado. Sviluppo binomiale. Polinomi, divisione tra polinomi, radice di un polinomio, la regola di Ruffini. Scomposizione in fattori. Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali. Coordinate cartesiane. La retta , la parabola, il cerchio. Gradi e radianti. Elementi di trigonometria. Sistemi di equazioni di primo grado.
Modalità didattica
Lezioni frontali di carattere teorico ed esercitazioni.
Materiale didattico
Libri consigliati
- Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa Analisi matematica 1. Zanichelli 2008.
- Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica. Zanichelli 2011.****
Di entrambi sono disponibili versioni in formato E-book
Dispense disponibili online
- A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del Corso di Analisi Matematica 1
- L. De Michele, Appunti di Analisi Matematica 1
Ulteriore materiale didattico
Duarante lo svolgimento del corso, sulla piattaforma E-Learning verranno resi disponibili: le note delle lezioni; numerosi fogli di esercizi da svolgere sia sotto la supervisione dell'insegnante che da soli; altro materiale su argomenti specifici.
.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo Semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La verifica del profitto è attraverso un esame scritto con eventuale colloquio orale. È prevista inoltre una prova in itinere che, se superata, esenterà da una parte della prova scritta complessiva e concorrà a determinare la votazione finale.
Esame scritto
Nella prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Si richiede inoltre la capacità di esporre le definizioni, gli enunciati dei teoremi, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte nel corso. La valutazione tiene conto dell'esattezza delle risposte, della completezza nonché della chiarezza espositiva.
In accordo, la prova scritta è composta di due parti.
ESERCIZI: risposta a quattro quesiti simili a quelli proposti durante il corso e che richiedono l’applicazione di specifici principi o tecniche di calcolo.
DOMANDE TEORICHE: enunciato di definizioni e di teoremi o esposizione di concetti di base ed esempi presi tra quelli che sono stati illustrati durante le lezioni.
L'esame si intende superato se ha totalizzato almeno 18 punti su 30.
Prova orale (opzionale)
Si tratta di un colloquio che, partendo da una discussione dello scritto, può spaziare su diversi argomenti del corso.
Prova in itinere (opzionale)
Durante il semestre è prevista una prova parziale, che consiste nella risoluzioni di esercizi sui temi del corso trattati sino a quel momento (nessuna domanda teorica). La prova parziale è opzionale ma consigliata per almeno tre ragioni:
- Se superata (con votazione di almeno 16 punti), consente di ottenere una riduzione degli esercizi da svolgere nella prova finale. Il voto attribuito all'esame sarà la media del voto parziale e del voto dello scritto coplessivo.
- Permette di verificare se gli argomenti siano stati acquisiti e con che profondità.
- È solo migliorativa nel senso che, nel caso in cui non venga superata, o nel caso in cui lo studente decida di non avvalersi del suo esito, non apporta alcuno svantaggio sull'esame finale.
Orario di ricevimento
Il ricevimento è per appuntamento
Aims
- To understand the ideas and techniques of differential and integral calculus for real functions of one real variable.
- To acquire the ability for critical and autonomous elaboration of the fundamental concepts.
- To acquire the computational skills on the base of problems and exercises solved both under the supervision of the teacher and independently.
- To acquire the ability for rigorous exposition of the theoretical knowledges and of the solutions to problems and exercises.
Contents
Real numbers, operations and their properties. Elementary functions, properties and their graphs. Numerical sequences, limits of sequences, forms of indecision. Comparison of infinities. Numerical series, convergence tests. Absolute convergence. Function limits. Continuity. The derivative. Theorems of differential calculus. The Taylor's theorem. Primitive functions and indefinite integral. The Riemann Integral. Generalized integrals.
Detailed program
Real numbers. Natural numbers N, and the ring of relative integers Z. Induction principle. The field Q of rational numbers. Properties and their inadequatecy: the equation x² = 2 has no solution in Q. The real numbers field R. Decimal representation. The real axes, ordering. Intervals. Neighbourhood. Absolute value. Bounded sets in R. Maximum and minimum. Supremum and infimum, completeness. Roots, powers and logarithms.
Real functions of a real variable. Definition. Domain and range. Graph of a function. Elementary functions: powers, exponentials, logarithmic functions. The sequence as a function whose domain is the set N. Bounded function. Maximum, minimum, superior, inferior of a function. Properties of a real function: injectivity, increasing, decreasing, monotone, convex, concave, even, odd. Extremal points, absolute extremals and relative extremals. Understanding the properties of the given definitions by reading the graph. Composite function, inverse function. Periodic functions, trigonometric functions and their inverse. Solving the inequalities by inversion of injective and monotonic functions.
Complex numbers. The field C of complex numbers: algebraic form, operations, equality. Representation in the complex plane. Polar coordinates, modulo and argument, trigonometric form, exponential form. De Moivre's formula. Formula of the n-th roots of a complex number * (solutions in C of the equation zⁿ = w). The fundamental theorem of algebra.
Limits. Limits of sequence, of functions. Properties: uniqueness of the limit, permanence of the sign, existence of the limit for monotonic functions. Comparison test. The ratio test. Operations with limits, indecision forms. The limit e. Notable limits. Symbol of asymptotic Landau. Order of an infinitesimal / infinite, compared to a sample.
Numerical series. Sequence of partial sums. Convergent, divergent, irregular series. Geometric series, Mengoli series, harmonic series. Necessary condition of convergence. Series with positive terms: their regularity and convergence tests: comparison, asymptotic comparison, root and ratio tests. Series with alternating signs and Leibniz test. Simple and absolute convergence.
Continuity. Continuous function at a point, on a set. Classification of discontinuities. Operations between continuous functions, continuity of composite function. Properties of continuous functions in a closed and bounded interval: Weierstrass theorem, existence of zeros, Darboux (or intermediate values). Continuity and monotony. Continuity of the inverse function.
Differential calculus. The derivative and its geometric interpretation. Equivalence between derivability and differentiability for functions of a variable. Equation of the tangent line. Points of non-derivability. Continuity and derivability. Calculation rules for derivatives. Stationary points. Theorems of the differential calculus: Fermat, Rolle, Lagrange and its corollaries, examples and counterexamples. The theorems of De l'Hòpital. Higher order derivatives. Polynomial approximation: Taylor formula, Peano remainder and Lagrange remainder. Convexity and inflection points. Use of the derivatives of higher order to establish the nature of a stationary point. Asymptotes. Study of the graph of a function. Primitive functions and indefinite integral. Elementary methods for the search for a primitive. Integration by parts, by substitution (change of variable). Integration of rational functions.
The Riemann integral. Definition and its properties. The integral average theorem. Integral function, integration and differentiation. The fundamental theorem of calculus. Generalized integrals, definitions and examples.
Prerequisites
Sets operations, union, intersection; membership and inclusion. Operations and comparison between real numbers, sorting. Properties of powers. Second-degree equations. Binomial expansion. Polynomials, division between polynomials, root of a polynomial, Ruffini's rule. Factoring. First and second degree inequations, rational inequalities. Cartesian coordinates. The line, the parabola, the circle. Degrees and radians. Elements of trigonometry. Systems of first degree equations.
Teaching form
Lectures of theoretical slant and exercises sessions.
Textbook and teaching resource
Suggested textbooks
- Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa Analisi matematica 1. Zanichelli 2008.
- Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica. Zanichelli 2011.
Both of them are available in E-book form.
Lecture Notes available online
- A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del Corso di Analisi Matematica 1
- L. De Michele, Appunti di Analisi Matematica 1
Further material
During the course, on the E-Learning platform, the following documents will be made available: the slides of the teaching; many problems and exercises to be solved either under the supervision of the teacher or by yourself; further material on specific topics.
.
Semester
First Semester
Assessment method
Written examination with optional oral colloquium.
The goal of the evaluation is to ascertain a correct assimilation of concepts and techniques studied during lessons and exercises sessions. There will be a partial examination (optional) that, if passed, will permit to skip part of the final exam and its score will contribute to the final score.
Written exam
The written exam consists of two part:
- Exercises. The student has to solve exercises similar to those solved in the classroom and/or assigned during the lectures by applying specific computational techniques.
- Theoretical questions. The student is required to state definitions and theorems from the lectures or to illustrate basic concepts and examples taken from the lectures.
The exam is passed if it scores at least 18 points over 30.
Oral exam (optional)
It consists of a discussion that, starting from the exercises of the written exam, can touch different topics of the course.
Partial exam (optional)
During the semester there will be one partial written exam on the topics presented up to that moment (no theoretical questions).
The partial exam is optional but recommanded due to (at least) three reasons:
- If passed, it allows the students to skip part of the final written examination. The score attributed to the exam will be the average of the scores obtained in the partial and in the final exam.
- It is useful to verify the student own state of learing
- If failed, or if the student decides to not use it, it does not affect the score of the final written examination.
Office hours
Office hours is by appointment
Scheda del corso
Staff
-
Stefano Pigola