Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Questo corso vuole fornire allo studente un’adeguata conoscenza delle basi matematiche per poter comprendere i modelli che descrivono i fenomeni economici. In particolare, si vogliono fornire agli studenti gli strumenti matematici che, a partire dall'espressione analitica di una funzione, permettono di analizzarne proprietà quali monotonia, convessità, massimi e minimi, e che consentono di tracciarne un grafico qualitativo.
Gli studenti devono saper applicare i concetti teorici utilizzati a semplici esercizi, simili a quelli svolti a lezione.
Contenuti sintetici
- Funzioni a una variabile
- Cenni a funzioni a due variabili
- Serie
- Integrali
Programma esteso
Generalità sulle funzioni.
Dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Monotonia, massimi e minimi. Funzione inversa.
Limiti e teoremi relativi.
Successioni e serie: definizione di serie (carattere e somma), condizione necessaria per la convergenza, serie geometrica, serie telescopica, serie armonica, serie a termini nonnegativi (criteri di convergenza), serie a termini di segno alterno (criterio di Leibniz).
Funzioni continue: teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi. Punti di discontinuità.
Forme di indecisione e loro risoluzione. Simboli di Landau.
Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Punti di non derivabilità. Legame tra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle, Lagrange, Fermat.
Teorema di de l’Hospital. Formula di Taylor.
Convessità e concavità: definizione e caratterizzazione del secondo ordine.
Funzioni a due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Integrali: definizione di integrale di Riemann e prime proprietà, teoremi sugli integrali, calcolo di primitive (integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali), integrali impropri, criteri di convergenza di integrali impropri.
Prerequisiti
Elementi di algebra, equazioni e disequazioni, nozioni di base di geometria analitica.
Metodi didattici
Lezioni di teoria ed esercizationi.
In particolare, parte della didattica di uno dei due turni sarà erogata in modalità da remoto (al più il 30% delle ore); la restante parte sarà erogata in presenza. Le lezioni da remoto saranno comunicate con congruo preavviso da parte del docente e potranno essere erogate in streaming oppure in modalità asincrona.
Le lezioni e le esercitazioni si svolgeranno principalmente sotto forma di didattica erogativa.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede una prova finale scritta e una prova orale (facoltativa).
Sono previste prove intermedie.
La prova scritta (durata 2 ore) contiene 5 esercizi e 2 domande di teoria (viene richiesta la conoscenza dei teoremi e relative dimostrazioni e delle definizioni di alcuni concetti importanti).
Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;
Esercizio 2: a) Limiti b) Serie (con limiti)
Esercizio 3: a) Vario b) Funzioni a due variabili
Esercizio 4: Integrali
Esercizio 5: Studio di una funzione
L’eventuale prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Testi di riferimento
Slide del corso e materiale didattico fornito sulla piattaforma di elearning
Libri di testo:
Pini. R, Monti, G. "Lezione di Matematica Generale" LED Edizioni Universitarie
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica- Metodi e applicazioni" Edizioni CEDAM
Guerraggio, A. "Matematica", seconda o terza edizione. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
This course aims at giving to the students the mathematical foundations of the models that describe the economic phenomena. In particular, students receive the mathematical instruments that allow, starting from the analytic formula of the function, to analyze properties such as monotonicity, convexity, maximum and minimum. The final aim is to be able to produce a qualitative plot of the function.
Students should be able to apply theory to solve problems.
Contents
- Study of functions with one variable
- An introduction to functions with more than one variable.
- Series
- Integrals
Detailed program
Introduction to functions.
Definition and image set, graph of a function. Simple functions. Monotonicity, maximum and minimum. Inverse function.
Limits and theorems related to the topic.
Sequences and Series: definition (types and summation), necessary condition for convergence, geometric series, telescopic series, harmonic series, series with non negative terms (convergence criteria), alternating series (Leibniz criterion).
Continuous functions: Weierstrass theorem, Zero's theorem, theorem of Intermediate values. Discontinuities.
Indeterminate forms in the computation of the limits. Landau's symbol.
Differential calculus: definition of the derivative and geometric interpretation. Points of non differentiability. Link between continuity and differentiability. Some theorems: Rolle, Lagrange and Fermat.
L’Hospital's rule. Taylor's formula.
Convexity of a function: definition and characterization based on the second order derivative.
Functions with more than one variable: definition set, level curves, partial derivatives, critical points.
Integrals: definition and main properties, teorems on integrals, primitive integral (integration by parts, by substitution, intregration of rational functions), improper integrals, convergences criteria for improper integrals
Prerequisites
Elements of algebra, equations and disequalities, basic knowledge of geometry.
Teaching methods
Theoretical lectures and practical sessions.
Some of the lectures will be provided remotely (at most 30% of the hours). The teacher will communicate in
advance which lessons will be provided remotely.
Most of lectures and practical sessions consist of dispensing teaching.
Assessment methods
Final written exam and (subsequent optional) oral exam.
In the written part the students have to solve 5 exercises and to answer to 2 open questions (it is required to formulate and prove theorems and to provide definitions presented during the course).
The structure of the exercises is the following:
Exercise 1: Trasformations of plots for basic functions:
Exercise 2: a) Limits b) Series (with limits)
Exercise 3: a) Various b) Functions of two variables
Exercise 4: Integrals
Exercise 5: Study of a function
In the oral part should be able to discuss all the topics presented in the course and the optional oral examination can contribute both positively and negatively to the final grade.
Textbooks and Reading Materials
Slides will be uploaded in the elearning course webpage.
Suggested textbooks:
Pini. R, Monti, G. "Lezione di Matematica Generale" LED Edizioni Universitarie
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica- Metodi e applicazioni" Edizioni CEDAM
Guerraggio, A. "Matematica", seconda o terza edizione. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Semester
First term
Teaching language
Italian