Syllabus del corso
Obiettivi
L'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base per lo studio di problemi di analisi matematica avanzata.
Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere le tecniche dimostrative per risolvere esercizi e affrontare problemi di analisi matematica.
In dettaglio, secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:
(1) Conoscenza e capacità di comprensione.
Gli studenti acquisiranno conoscenze di base dell' analisi matematica avanzata, con particolare riferimento a Spazi di Banach e di Hilbert, spazi Lp, convoluzione, operatori lineari tra spazi normati, Teorema di Baire e sue conseguenze, serie di Fourier, trasformata di Fourier.
Lo studio di tali nozioni si basa sulle conoscenze acquisite negli insegnamenti precedenti e pone le basi per studi più avanzati. Viene incrementata la capacità di comprensione della teoria attraverso un'analisi profonda degli argomenti trattati e attraverso lo studio di esempi e applicazioni.
(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese nella risoluzioni di problemi di analisi matematica. Durante lo svolgimento del corso si richiederà di dimostrare enunciati di analisi matematica utilizzando tecniche dimostrative analoghe a quelle dei teoremi in programma.
(3) Autonomia di giudizio.
L’insegnamento ha l’obiettivo di sviluppare nello studente la capacità di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni, prestando anche particolare attenzione al modo in cui le ipotesi intervengono nel processo dimostrativo. Sarà inoltre incentivata l’autonomia nella selezione dei metodi risolutivi più adatti a seconda del tipo di problema. Queste abilità verranno potenziate anche attraverso il confronto tra diverse strategie risolutive per uno stesso problema.
(4) Abilità comunicative.
Gli studenti acquisiranno la capacità di comunicare concetti matematici in modo rigoroso e di presentare una dimostrazione in maniera schematica e comprensibile. Verrà incentivato l’utilizzo del linguaggio matematico formale, sottolineando nel contempo l’importanza di saper tradurre le idee in termini intuitivi.
(5) Capacità di apprendimento.
L'insegnamento si propone di fornire agli studenti gli strumenti necessari per proseguire in modo autonomo lo studio dell’analisi matematica a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, valorizzando le conoscenze già acquisite. Saranno inoltre stimolati ad attingere a fonti diverse per approfondire e aggiornare le proprie competenze.
Contenuti sintetici
Spazi di Banach. Spazi Lp. Spazi di Hilbert. Serie di Fourier. Convoluzione. Trasformata di Fourier. Teorema di Baire. Teorema della Mappa Aperta. Teorema di Banach-Steinhaus. Spazio duale. Convergenza debole.
Programma esteso
Definizione ed esempi di spazi di Banach. Definizione di L^p (X, μ). Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Completezza di L^p (X, μ). Inclusioni di spazi L^p (X, μ), μ finita. Inclusioni di spazi L^p(Z). Relazioni tra convergenze in norma p, in misura e puntuale. Convoluzione. Identità approssimata. Densità di Cc (Rn ) e dello spazio di Schwartz in L^p (Rn ). Operatori lineari tra spazi vettoriali normati. Spazio Duale. Enunciato del teorema di Hahn Banach. Dualità degli spazi Lp (solo enunciato). Definizione degli spazi di Sobolev.
Definizione di prodotto interno. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di spazio di Hilbert. Punti di minima distanza da un chiuso convesso. Teorema delle proiezioni. Disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi. Formula di Parseval. Ortogonalizzazione di GramSchmidt. Serie di Fourier per funzioni in L^1(T), T toro. Nucleo di Dirichlet. Nucleo di Fejer. Convergenza in L2, uniforme e puntuale delle serie di Fourier.
Teorema di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus e applicazioni. Teorema della mappa aperta e del grafico chiuso. Divergenza delle serie di Fourier. Non suriettivita' della trasformata di Fourier da L1(T) in c_0(Z).
Definizione e prime proprietà della trasformata di Fourier. Cenni alla teoria delle distribuzioni.
Prerequisiti
Topologia elementare. Algebra lineare. Calcolo differenziale in una e piu' variabili. Calcolo integrale. Teoria della misura. Numeri complessi.
Modalità didattica
48 ore (8 cfu) di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza.
Corso erogato in lingua italiana
Materiale didattico
G.B. Folland "Real Analysis"
L. Grafakos "Classical Fourier Analysis"
W. Rudin "Real and Complex Analysis"
W. Rudin "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis"
Note del docente
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.
Prove facoltative in itinere.
Durante il corso verranno proposti alcuni titoli di argomenti da approfondire in gruppi di 3-4 studenti. Ogni gruppo dovrà scrivere un breve elaborato (di alcune pagine) e presentare il lavoro oralmente, con un intervento individuale della durata di circa 10 minuti a testa. Il progetto sarà valutato con un punteggio massimo di 4 punti per il contenuto scritto e fino a 2 punti per la presentazione orale.
In tal modo ogni studente può accumulare fino ad un massimo di 6 punti da sommare al voto dello scritto, qualora questo sia maggiore di 12.
Prova scritta
La prova scritta consiste in domande aperte volte a verificare la comprensione dei contenuti del corso, l'abilità di applicare alla risoluzione di problemi le tecniche dimostrative apprese , la chiarezza espositiva. Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento. Il punteggio massimo per lo scritto è 33.
Gli esercizi proposti sono in linea con quelli svolti durante le lezioni.
L'ammissione alla prova orale avviene con una valutazione dello scritto maggiore o uguale a 16.
La durata della prova scritta è di due ore.
Prova orale
L'esame orale consiste in una discussione dello scritto e in domande di carattere teorico (definizioni e teoremi con dimostrazione) sugli argomenti trattati a lezione. Nella prova orale verranno valutate la conoscenza e la comprensione del contenuto del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e puntuale.
Il voto finale è dato dal punteggio della prova scritta a cui vengono sommati o sottratti punti in sede di orale.
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Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims to provide students with the foundational knowledge required to study problems in advanced mathematical analysis. It will also equip them with the skills necessary to understand proof techniques in order to solve exercises and tackle problems in mathematical analysis.
More specifically, according to the Dublin Descriptors, the learning objectives are as follows:
(1) Knowledge and understanding
Students will acquire foundational knowledge in advanced mathematical analysis, with particular focus on Banach and Hilbert spaces, L^p spaces, convolution, linear operators between normed spaces, Baire’s theorem and its consequences, Fourier series, and the Fourier transform.
This content builds upon knowledge gained in previous courses and lays the groundwork for further advanced studies. Theoretical understanding will be enhanced through in-depth analysis of topics as well as the study of examples and applications.
(2) Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the acquired knowledge to solve problems in mathematical analysis. Throughout the course, students will be expected to prove statements in analysis using proof techniques similar to those employed in the main theorems covered in the syllabus.
(3) Making judgements
The course aims to develop the student’s ability to critically analyze mathematical statements and proofs, with particular attention to how assumptions contribute to the logical structure of a proof. Students will also be encouraged to independently select the most appropriate problem-solving strategies depending on the context. These skills will be further developed through the comparison of different methods for solving the same problem.
(4) Communication skills
Students will acquire the ability to clearly and rigorously communicate mathematical concepts and to present proofs in a structured and comprehensible manner. The use of formal mathematical language will be encouraged, while also emphasizing the importance of expressing ideas in more intuitive and accessible terms when appropriate.
(5) Learning skills
The course is designed to provide students with the tools necessary to continue their study of mathematical analysis independently at more advanced levels. Students will be encouraged to approach new topics methodically and rigorously, building upon prior knowledge. They will also be stimulated to consult a variety of sources to deepen and update their understanding.
Contents
Banach Spaces. Lp spaces. Hilbert spaces. Fourier series. Convolution. Fourier transform. Baire's Theorem. Open mapping Theorem. Banach Steinhaus Theorem. Dual space. weak convergence.
Detailed program
Definition of Banach space. Examples.
Definition of L ^ p (X, μ), μ positive measure.
Holder and Minkowski inequalities.
Completeness of L ^ p (X, μ).
Inclusions of spaces L ^ p (X, μ), finite μ.
Inclusions of spaces L ^ p (Z).
Relations between pointwise convergence, convergence in Lp, and in measure.
Density of Cc (Rn), Coo (Rn) and of the Schwartz space in L p (Rn).
Duality of Lp spaces (only statement).
Hilbert spaces.
Inner product.
Cauchy-Schwarz Inequality.
Hilbert space.
Points of minimum distance from a closed convex.
Projection theorem.
Bessel inequality.
Complete orthonormal systems.
Parseval formula.
Gramschmidt process.
Fourier series for functions on the thorus
Dirichlet kernel.
Convergence in L2.
Pointwise convergence.
Linear operators between normed vector spaces.
Dual space.
Baire's theorem.
The Banach-Steinhaus Theorem.
Divergence of the Fourier series.
Open Mapping Theorem.
Closed Graph Theorem.
Non surjectivity of the Fourier transform from L 1 (T) into c_0 (Z).
Weak convergence.
Fourier transform in Rn.
Prerequisites
Topology. Linear algebra. Differential calculus. Integral calculus. Measure theory. Complex numbers.
Teaching form
48 hours of in-person, lecture-based teaching (6 ECTS)
Course delivered in Italian.
Textbook and teaching resource
G.B. Folland "Real Analysis"
L. Grafakos "Classical Fourier Analysis"
W. Rudin "Real and Complex Analysis"
W. Rudin "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis"
Notes
Semester
Second semester
Assessment method
The exam consists of a written test and an oral test.
Optional ongoing assessments.
During the course, some topics will be proposed for in-depth study in groups of 3-4 students. Each group will be required to write a short paper (a few pages) and present the work orally, with an individual presentation lasting approximately 10 minutes per person. The project will be graded with a maximum of 4 points for the written content and up to 2 points for the oral presentation.
In this way, each student can earn up to 6 points to be added to their written exam score, provided that the written exam grade is at least 12.
Written test
The written test consists of exercises aimed at verifying the understanding of the course content, the ability to apply the learned proof techniques to problem-solving, and clarity of exposition. Each exercise will be assigned a maximum partial score based on its difficulty and length; the student’s score will be determined according to accuracy, completeness, rigor, clarity, and coherence of the solution. The maximum score for the written test is 33.
The exercises proposed are consistent with those practiced during the lessons.
Admission to the oral exam requires a written test score of at least 16.
The duration of the written test is two hours.
Oral test
The oral exam consists of a discussion of the written test and theoretical questions (definitions and theorems with proofs) on the topics covered in class. The oral exam will assess the knowledge and understanding of the course content, as well as the ability to organize a clear, effective, and well-structured coherent presentation.
The final grade is given by the written test score, to which points may be added or subtracted with the oral exam.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Bianca Di Blasio
