Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso vuole fornire allo studente un'adeguata conoscenza delle basi matematiche utili a comprendere i modelli che descrivono i fenomeni economici. In particolare, si intende dotare gli studenti degli strumenti matematici che, a partire dall’espressione analitica di una funzione, permettono di tracciarne un grafico qualitativo.
Ci si aspetta che gli studenti sappiano applicare i concetti teorici illustrati a lezione a semplici esercizi, simili a quelli svolti in aula.
Risultati di apprendimento attesi:
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Conoscenza e comprensione
Gli studenti acquisiranno una solida comprensione degli aspetti teorici relativi ai principali argomenti trattati durante il corso, tra cui il calcolo dei limiti e delle derivate, le successioni, le serie numeriche e il calcolo integrale. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti saranno in grado di applicare con efficacia i metodi matematici per risolvere problemi coerenti col programma del corso e per affrontare situazioni di ambito economico. -
Autonomia di giudizio
Gli studenti svilupperanno capacità logiche e analitiche utili per affrontare e risolvere problemi complessi, anche di natura interdisciplinare, valutando criticamente i risultati ottenuti. -
Abilità comunicative
Gli studenti impareranno ad utilizzare un linguaggio matematico chiaro e rigoroso, in modo da saper esprimere con precisione e coerenza le conoscenze acquisite e da comunicare efficacemente idee, metodi e risultati. -
Capacità di apprendimento
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo, che consentirà loro di affrontare con consapevolezza e successo anche studi successivi, di livello più avanzato.
Contenuti sintetici
- Funzioni a una variabile
- Cenni a funzioni a due variabili
- Serie
- Integrali
Programma esteso
Generalità sulle funzioni.
Dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Monotonia, massimi e minimi. Funzione inversa.
Limiti e teoremi relativi.
Successioni e serie: definizione di serie (carattere e somma), condizione necessaria per la convergenza, serie geometrica, serie telescopica, serie armonica, serie a termini nonnegativi (criteri di convergenza), serie a termini di segno alterno (criterio di Leibniz).
Funzioni continue: teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi. Punti di discontinuità.
Forme di indecisione e loro risoluzione. Simboli di Landau.
Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Punti di non derivabilità. Legame tra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle, Lagrange, Fermat.
Teorema di de l’Hospital. Formula di Taylor.
Convessità e concavità: definizione e caratterizzazione del secondo ordine.
Funzioni a due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Integrali: definizione di integrale di Riemann e prime proprietà, teoremi sugli integrali, calcolo di primitive (integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali), integrali impropri, criteri di convergenza di integrali impropri.
Prerequisiti
Elementi di algebra, equazioni e disequazioni, nozioni di base di geometria analitica.
Metodi didattici
Lezioni di teoria ed esercizationi.
In particolare, parte della didattica sarà erogata in modalità da remoto (al più il 30% delle ore); la restante parte sarà erogata in presenza. Le lezioni da remoto saranno comunicate con congruo preavviso da parte del docente e potranno essere erogate in streaming oppure in modalità asincrona.
Le lezioni e le esercitazioni si svolgeranno principalmente sotto forma di didattica erogativa.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede una prova finale scritta e una prova orale (facoltativa) in caso di voto sufficiente della prova scritta.
Sono previste due prove parziali scritte, di cui una a metà e l'altra alla fine del corso, ciascuna della durata di un'ora e mezza.
La prova scritta relativa all'intero programma (della durata di 2 ore) contiene 5 esercizi e 2 domande di teoria.
Per le due domande di teoria, viene richiesta la conoscenza dei teoremi, con relativa dimostrazione, se vista a lezione, e delle definizioni di alcuni concetti importanti.
Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari
Esercizio 2: a) Limiti b) Serie (con limiti)
Esercizio 3: a) Vario b) Funzioni di due variabili
Esercizio 4: Integrali
Esercizio 5: Studio di funzione
In riferimento alla prova scritta, oltre alla correttezza dei risultati, viene valutata la capacità di motivare i singoli passaggi.
L’eventuale prova orale consiste in un colloquio che inizia con una discussione della prova scritta e che prosegue con domande sugli argomenti presenti nel programma d'esame.
Può contribuire in maniera positiva o in maniera negativa al voto finale.
Testi di riferimento
Slide del corso e materiale didattico fornito sulla piattaforma di elearning
Libri di testo:
Pini. R, Monti, G. "Lezione di Matematica Generale" LED Edizioni Universitarie
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica- Metodi e applicazioni" Edizioni CEDAM
Guerraggio, A. "Matematica", seconda o terza edizione. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims at providing students with the mathematical knowledge of the topics useful to understand models describing economic phenomena. In particular, students will learn how to use the mathematical tools which, starting from the function analytic formulation, allow to draw a qualitative graph of the function.
Students are expected to be able to apply the theoretical concepts seen during the course to simple problems, similar to those solved during lectures and practical exercise sessions.
Expected Learning Outcomes (Dublin Descriptors):
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Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the theoretical aspects connected with the main topics covered during the course, such as limits, derivatives, numerical sequences and series, integral calculus. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply mathematical methods to solve practical problems consistent with the course topics and to deal with real-world situations in the economic field. -
Making judgements
Students will develop logical and analytical skills useful for tackling and solving complex problems, including those interdisciplinary in nature, and for critically evaluating the obtained results. -
Communication skills
Students will learn how to correctly use the mathematical language, so as to accurately and coherently express the acquired theoretical notions, as well as to effectively communicate ideas, methods and results. -
Learning skills
Students will develop an independent study method, enabling them to approach subsequent, more advanced studies with awareness and success.
Contents
- Study of functions with one variable
- An introduction to functions with more than one variable.
- Series
- Integrals
Detailed program
Introduction to functions.
Definition and image set, graph of a function. Simple functions. Monotonicity, maximum and minimum. Inverse function.
Limits and theorems related to the topic.
Sequences and Series: definition (types and summation), necessary condition for convergence, geometric series, telescopic series, harmonic series, series with non negative terms (convergence criteria), alternating series (Leibniz criterion).
Continuous functions: Weierstrass theorem, Zero's theorem, theorem of Intermediate values. Discontinuities.
Indeterminate forms in the computation of the limits. Landau's symbol.
Differential calculus: definition of the derivative and geometric interpretation. Points of non differentiability. Link between continuity and differentiability. Some theorems: Rolle, Lagrange and Fermat.
L’Hospital's rule. Taylor's formula.
Convexity of a function: definition and characterization based on the second order derivative.
Functions with more than one variable: definition set, level curves, partial derivatives, critical points.
Integrals: definition and main properties, teorems on integrals, primitive integral (integration by parts, by substitution, intregration of rational functions), improper integrals, convergences criteria for improper integrals
Prerequisites
Elements of algebra, equations and disequalities, basic knowledge of geometry.
Teaching methods
Theoretical lectures and practical sessions.
Some of the lectures will be provided remotely (at most 30% of the hours). The teacher will communicate in
advance which lessons will be provided remotely.
Most of lectures and practical sessions consist of dispensing teaching.
Assessment methods
Final written exam and (subsequent, optional) oral exam in case the grade assigned to the written exam is at least 18/30.
There will be a midterm written exam, lasting 1.5 hours.
In the written exam covering all course topics (lasting 2 hours), students have to solve 5 practical exercises and answer 2 open theoretical questions.
For the two theoretical questions, it is required to enunciate and prove theorems (if the proof has been illustrated during the lectures), and to provide definitions presented during the course.
The structure of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of the graph of elementary functions
Exercise 2: a) Limits b) Series (with limits)
Exercise 3: a) Miscellaneous b) Function of two variables
Exercise 4: Integrals
Exercise 5: Study of a function
In grading the written exam, in addition to the correctness of the results, the ability in explaining the various steps will be considered as well.
The (optional) oral exam starts with a discussion of the written exam, followed by some questions regarding the topics of the course.
It can contribute either positively or negatively to the final grade.
Textbooks and Reading Materials
Slides will be uploaded in the elearning course webpage.
Suggested textbooks:
Pini. R, Monti, G. "Lezione di Matematica Generale" LED Edizioni Universitarie
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica- Metodi e applicazioni" Edizioni CEDAM
Guerraggio, A. "Matematica", seconda o terza edizione. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Semester
First term
Teaching language
Italian
