Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L’insegnamento rientra nelle aree di apprendimento delle scienze statistiche, dell’informatica e delle scienze sociali e permette allo studente di apprendere le procedure analitiche ed inferenziali nell’ambito dell’inferenza bayesiana. Il ragionamento bayesiano viene presentato in modo integrato con l’approccio all’inferenza statistica sviluppato in senso classico. L’attività formativa permette agli studenti di acquisire solidi elementi di teoria bayesiana, di sviluppare le applicazioni attraverso un approccio di “problem solving” con dati reali e simulati in riferimento a problemi applicativi nell’ambito della biostatistica. Lo studente acquisisce inoltre abilità nella comunicazione scientifica scritta in quanto è richiesta la stesura di testi a completamento dei risultati ottenuti dalle analisi svolte.
Conoscenza e comprensione
Lo studente viene introdotto ai principali modelli statistici bayesiani per l’analisi di dati con diverse tipologie di variabili risposta, alle ipotesi sottostanti tali modelli e ai modelli per l’analisi dei dati longitudinali. Acquisisce inoltre la comprensione delle procedure Markov Chain Monte Carlo (MCMC) e dei relativi algoritmi di stima, nonché la capacità di valutarne l’efficacia.
Lo studente viene anche introdotto al linguaggio di programmazione R, nell’ambiente RMarkdown, che consente di creare documenti riproducibili contenenti codice, risultati, commenti e specifiche procedure per l’analisi bayesiana tramite il software SAS.
Gli esempi applicativi riguardano dati reali e simulati provenienti da diversi ambiti di riferimento del corso di studi. Lo studente apprende inoltre a fornire una descrizione scritta dei risultati ottenuti alla luce delle domande di ricerca, insieme a una valutazione critica dei limiti delle analisi svolte. In questo modo lo studente sviluppa autonomia di giudizio e rafforza le proprie abilità comunicative, sia nella presentazione e nella giustificazione delle scelte metodologiche adottate, sia nell'interpretazione e nella comunicazione dei risultati in relazione alle domande di ricerca.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
L’insegnamento fornisce competenze nell'utilizzo dei modelli bayesiani con distribuzioni coniugate, nella scelta delle distribuzioni a priori e nell’impiego degli algoritmi di stima per modelli complessi.
Attraverso R, RStudio e RMarkdown gli studenti imparano a impostare in modo organico il ragionamento statistico, mediante l’analisi dei dati e la redazione di relazioni che illustrino il codice, le analisi e i risultati.
Con l’uso del software SAS, gli studenti apprendono a stimare modelli bayesiani complessi tramite algoritmi di simulazione MCMC e a impostare correttamente gli input richiesti dagli algoritmi di stima.
L’insegnamento consente agli studenti di acquisire solide basi teoriche e la capacità di applicare i modelli statistici presentati a dati reali. Gli studenti saranno in grado di valutare il modello più appropriato in base ai dati disponibili e alle domande di ricerca. Imparano inoltre a scrivere e commentare il codice utilizzato per generare i risultati, adottando un approccio orientato alla scienza aperta (open science) che garantisca la riproducibilità e la replicabilità delle analisi.
Al termine dell’insegnamento, grazie al materiale fornito (le dispense del docente corredate da un’ampia bibliografia, i codici per i software R e SAS e l’interfaccia RMarkdown), lo studente è in grado di proseguire in modo autonomo nell’approfondimento di questa disciplina.
L’insegnamento è indispensabile per il successivo percorso universitario in quanto fornisce i concetti essenziali per lo sviluppo dei metodi bayesiani sia attraverso solide basi teoriche e applicative per i contesti professionali di riferimento (biostatistico/statistico/demografico e affini) degli studenti del corso di laurea in Biostatistica.
Contenuti sintetici
Introduzione all’inferenza bayesiana e alla regola di Bayes.
Metodi di specificazione del modello e delle distribuzioni a priori.
Famiglie coniugate: Gaussiana, Poisson-gamma, beta-binomiale, multinomiale-Dirichlet .
Inferenza Bayesiana non parametrica.
Metodi di sintesi della distribuzione a posteriori, regioni di credibilità e intervalli con la massima densità a posteriori.
Introduzione ai processi stocastici di Markov e proprietà delle catene di Markov.
Modello di passeggiata casuale. Modello di transizione per dati longitudinali.
Modelli di Markov a variabili latenti per dati longitudinali ed estensioni con covariate sia nel modello osservato che nel modello latente.
Metodi Markov Chain Monte Carlo (MCMC): Algoritmo Metropolis-Hastings e campionamento Gibbs.
Test diagnostici per la convergenza.
Esercitazioni svolte in relazione a specifici problemi applicativi utilizzando l’ambiente R, RStudio con l’editor di testo RMarkdown ed il software SAS.
Programma esteso
Durante l’insegnamento viene ripresa la regola di Bayes e la regola delle probabilità totali. Vengono sviluppati gli aspetti riguardanti la specificazione delle distribuzioni a priori, la stima esatta delle distribuzioni a posteriori e l’interpretazione dei modelli. Viene introdotto il modello beta-binomiale e altre famiglie coniugate: Gaussiana, modello Poisson-gamma, multinomiale-Dirichlet e particolare enfasi è posta anche sulla distribuzione predittiva. L’inferenza puntuale bayesiana viene confrontata con l’inferenza classica. Vengono illustrate le caratteristiche di scelta e di determinazione della distribuzione a priori, sia informativa sia non informativa. La nozione di scambiabilità viene illustrata attraverso il teorema di rappresentazione di De Finetti. La distribuzione a posteriori viene sintetizzata attraverso le regioni di credibilità, e gli intervalli con la massima densità a posteriori.
Vengono introdotti i processi stocastici markoviani enunciando le proprietà e le caratteristiche delle catene di Markov. La passeggiata casuale viene illustrata attraverso le simulazioni delle traiettorie per matrici stocastiche con diverse dimensioni. Viene introdotto il modello di transizione per dati longitudinali, ed il modello di Markov latente. Vengono illustrati anche da un punto di vista computazionale gli algoritmi di stima utilizzati nell’ambito del metodo MCMC per approssimare la distribuzione a posteriori: l’algoritmo Metropolis-Hastings e l’algoritmo di campionamento Gibbs (Gibbs sampling). Vengono discusse diverse misure riferite sia alle analisi grafiche che ai test statistici che permettono la valutazione diagnostica della convergenza.
La teoria viene affiancata da numerosi esempi di applicazione dei modelli bayesiani nell’ambito della biostatistica attraverso dati reali e simulati riguardanti l’epidemiologia, la farmacoepidemiologia, la medicina e la biologia oltre che l’ecologia e le scienze ambientali. Si intende inoltre facilitare lo sviluppo della conoscenza della semantica in ambiente R e del software SAS. Gli esempi sono svolti in RStudio con l’ausilio di RMarkdown. Lo studente durante le esercitazioni è incoraggiato, anche tramite l’apprendimento cooperativo, ad elaborare documenti riproducibili concernenti anche il commento critico ai risultati delle analisi. Vengono utilizzati i seguenti pacchetti: probBayes, learnBayes, stan, LMest, LaplaceDemon, Nimble, RMarkdown attraverso il pacchetto knitr, per integrare il codice, i risultati delle analisi ed i commenti. L’analisi con il software SAS viene svolta attraverso la libreria PROC MCMC.
Prerequisiti
Si consiglia di aver acquisito e di riprendere le nozioni impartite nei seguenti insegnamenti: Statistica, Probabilità e inferenza statistica e Modelli Statistici II.
Metodi didattici
Sono previste lezioni frontali, svolte in presenza in modalità erogativa presso il laboratorio informatico, relative agli aspetti teorici dell’insegnamento e affiancate da esercitazioni pratiche. Le lezioni si svolgono presso il laboratorio informatico. Durante le attività formative con l'ausilio di R, RStudio, dell’ambiente RMarkdown e del software SAS, gli studenti imparano ad analizzare i dati, a stimare i modelli bayesiani e a corredare le analisi con i commenti e interpretazioni, elaborando documenti che consentono di riprodurre e replicare le analisi svolte. Settimanalmente vengono assegnati esercizi di riepilogo, basati su dati reali o simulati, con i quali gli studenti vengono incoraggiati ad affrontare problemi applicativi coerenti con gli argomenti teorici illustrati a lezione, favorendo anche lo sviluppo dell’apprendimento cooperativo. L’insegnamento si svolge in 35 ore di didattica erogativa, dedicate alla presentazione degli aspetti teorici e metodologici, e 12 ore di didattica interattiva, dedicate a esercitazioni guidate, applicazioni con R/RStudio/RMarkdown e SAS, discussione dei risultati e attività di problem solving. Le videoregistrazioni asincrone rese disponibili sulla piattaforma e-learning costituiscono materiale integrativo di supporto allo studio e non sostituiscono le attività didattiche in presenza.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Le seguenti modalità di verifica dell'apprendimento si applicano sia agli studenti frequentanti sia a quelli non frequentanti le lezioni frontali. L’esame consiste in una prova scritta, con domande aperte ed esercizi applicativi, alla quale può seguire, su richiesta dello studente o del docente, un colloquio orale facoltativo. Non sono previste prove intermedie.
La prova scritta ha una durata massima di due ore e si svolge in laboratorio informatico. Durante l'esame gli studenti devono rispondere a domande teoriche formulate in modo aperto e risolvere esercizi applicativi relativi agli argomenti trattati durante le lezioni e alle esercitazioni svolte.
Le domande teoriche sono finalizzate a verificare la comprensione dei concetti fondamentali dell’inferenza statistica bayesiana e dei relativi metodi avanzati. Gli esercizi applicativi svolti in R, RStudio, RMarkdown e il software SAS, consentono di valutare la capacità dello studente di applicare modelli statistici bayesiani a dati reali o simulati, nonché produrre report riproducibili, contenenti codice, analisi e interpretazione dei risultati.
La prova scritta è valutata in trentesimi secondo una griglia di punteggio comunicata agli studenti prima della prova. La valutazione tiene conto di: correttezza teorica delle risposte; appropriatezza della scelta del modello; correttezza dell’implementazione computazionale; interpretazione critica dei risultati; chiarezza e completezza della comunicazione scritta. Il colloquio orale facoltativo, se richiesto dallo studente o dal docente, consiste in una discussione della prova scritta e degli argomenti teorici dell’insegnamento e può confermare, integrare o modificare la valutazione finale. Durante la prova è consentito l’utilizzo del materiale didattico e di quello fornito dal docente, compresi i codici sviluppati in R e SAS nel corso delle attività didattiche. L'esame si intende superato con una votazione minima di 18/30.
Testi di riferimento
Il materiale didattico principale è costituito dalle dispense preparate dal docente, che trattano gli argomenti teorici del corso, le applicazioni sviluppate con il software R, gli esercizi e le relative soluzioni. Le dispense sono rese disponibili nella pagina dell’insegnamento sulla piattaforma e-learning dell’Ateneo. Al termine di ogni lezione, sono rese disponibili le slides utilizzate, i programmi di calcolo, i dataset impiegati durante le esercitazioni e il materiale di supporto. Con cadenza settimanale vengono assegnati esercizi, corredati dalle relative soluzioni. Nella medesima pagina della piattaforma e-learning sono inoltre disponibili esempi di prove d’esame degli anni precedenti.
I principali riferimenti bibliografici sono riportati nelle dispense del corso. Di seguito sono elencati i testi di riferimento fondamentali, disponibili presso la biblioteca di Ateneo, anche in formato e-book:
Albert, J. (2009). Bayesian computation with R. Springer Science & Business Media.
Albert, J., Hu, J. (2019). Probability and Bayesian modeling. Chapman and Hall/CRC.
Bartolucci, F., Farcomeni, A., Pennoni, F. (2013). Latent Markov Models for longitudinal data, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton.
Migon, H. S., Gamerman, D., Louzada, F. (2014). Statistical inference: an integrated approach. Chapman & Hall.
Pennoni, F. (2026). Dispensa di Inferenza Bayesiana: Teoria e applicazioni con R e SAS. Dipartimento di Statistica e Metodi Quantitativi, Università degli Studi di Milano-Bicocca.
Reich, B. J. (2026). Bayesian Statistical Methods: With Applications to Machine Learning. CRC Press.
Robert, C., Casella, G. (2004). Monte Carlo Statistical Methods (2nd ed.). Springer–Verlag, New York.
SAS Institute. (2012). SAS/STAT® 12.1 User's Guide: The MCMC Procedure (PROC MCMC).
R Core Team (2026). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. https://www.R-project.org/
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre, Ciclo II, Novembre 2026 - Gennaio 2027
Lingua di insegnamento
L’insegnamento è erogato in lingua italiana. Gli studenti Erasmus possono utilizzare il materiale didattico disponibile in lingua inglese, fornito dal docente su richiesta. Possono inoltre richiedere di sostenere la prova d’esame in lingua inglese.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course belongs to the learning areas of statistical sciences, computer science, and social sciences, and enables students to acquire analytical and inferential procedures in the field of Bayesian inference. Bayesian reasoning is presented in an integrated way with the classical approach to statistical inference. The course enables students to acquire solid foundations in Bayesian theory and to develop applications through a problem-solving approach using real and simulated data, with reference to applied problems in biostatistics. Students also acquire skills in written scientific communication, as they are required to write texts accompanying the results obtained from the analyses carried out.
Knowledge and understanding
Students are introduced to the main Bayesian statistical models for the analysis of data with different types of response variables, to the assumptions underlying these models, and to models for the analysis of longitudinal data. They also acquire an understanding of Markov Chain Monte Carlo (MCMC) procedures and related estimation algorithms, as well as the ability to evaluate their effectiveness. Students are also introduced to the R programming language, within the RMarkdown environment, which makes it possible to create reproducible documents containing code, results, comments, and specific procedures for Bayesian analysis using the SAS software. The applied examples concern real and simulated data from different fields relevant to the degree programme. Students also learn how to provide a written description of the results obtained in light of the research questions, together with a critical assessment of the limitations of the analyses performed. In this way, students develop independent judgement and strengthen their communication skills, both in presenting and justifying the methodological choices adopted and in interpreting and communicating the results in relation to the research questions.
Applying knowledge and understanding
The course provides skills in the use of Bayesian models with conjugate distributions, in the choice of prior distributions, and in the use of estimation algorithms for complex models. Through R, RStudio, and RMarkdown, students learn how to organise statistical reasoning in a coherent way by analysing data and writing reports that illustrate the code, the analyses, and the results. Through the use of the SAS software, students learn how to estimate complex Bayesian models using MCMC simulation algorithms and how to correctly set up the inputs required by the estimation algorithms.
The course enables students to acquire solid theoretical foundations and the ability to apply the statistical models presented to real data. Students will be able to evaluate the most appropriate model according to the available data and the research questions. They also learn how to write and comment on the code used to generate the results, adopting an approach oriented towards open science that ensures the reproducibility and replicability of the analyses.
By the end of the course, thanks to the materials provided, the instructor’s lecture notes, accompanied by an extensive bibliography, the code for the R and SAS software, and the RMarkdown interface, students will be able to continue studying this discipline independently.
The course is essential for the subsequent university path, as it provides the key concepts for the development of Bayesian methods, through solid theoretical and applied foundations for the relevant professional contexts of the students enrolled in the Master’s degree programme in Biostatistics, including biostatistical, statistical, demographic, and related fields.
Contents
Introduction to Bayesian inference and Bayes’ rule.
Methods for specifying the model and prior distributions.
Conjugate families: Gaussian, Poisson-gamma, beta-binomial, multinomial-Dirichlet.
Nonparametric Bayesian inference.
Methods for summarising the posterior distribution, credibility regions, and highest posterior density intervals.
Introduction to Markov stochastic processes and properties of Markov chains.
Random walk model. Transition model for longitudinal data.
Latent Markov models for longitudinal data and extensions with covariates in both the observed model and the latent model.
Markov Chain Monte Carlo (MCMC) methods: Metropolis-Hastings algorithm and Gibbs sampling.
Diagnostic tests for convergence.
Practical sessions related to specific applied problems using R, RStudio with the RMarkdown text editor, and the SAS software.
Detailed program
During the course, Bayes’ rule and the law of total probability are reviewed. The course develops the aspects concerning the specification of prior distributions, the exact estimation of posterior distributions, and the interpretation of models. The beta-binomial model and other conjugate families are introduced: Gaussian, Poisson-gamma, multinomial-Dirichlet, with particular emphasis also placed on the predictive distribution. Bayesian point inference is compared with classical inference. The characteristics involved in choosing and determining the prior distribution, both informative and non-informative, are illustrated. The notion of exchangeability is presented through De Finetti’s representation theorem. The posterior distribution is summarised through credibility regions and highest posterior density intervals.
Markov stochastic processes are introduced by presenting the properties and characteristics of Markov chains. The random walk is illustrated through simulations of trajectories for stochastic matrices of different dimensions. The transition model for longitudinal data and the latent Markov model are introduced. The estimation algorithms used within the MCMC method to approximate the posterior distribution are also illustrated from a computational point of view: the Metropolis-Hastings algorithm and the Gibbs sampling algorithm. Several measures are discussed, referring both to graphical analyses and to statistical tests that allow for the diagnostic evaluation of convergence.
The theory is accompanied by numerous examples of applications of Bayesian models in the field of biostatistics, using real and simulated data concerning epidemiology, pharmacoepidemiology, medicine, biology, ecology, and environmental sciences. The course also aims to facilitate the development of knowledge of the R environment and the SAS software. The examples are carried out in RStudio with the support of RMarkdown. During practical sessions, students are encouraged, also through cooperative learning, to develop reproducible documents that include critical comments on the results of the analyses. The following packages are used: probBayes, learnBayes, stan, LMest, LaplaceDemon, Nimble, and RMarkdown through the knitr package, in order to integrate code, analysis results, and comments. The analysis with the SAS software is carried out using the PROC MCMC procedure.
Prerequisites
Students are advised to have acquired and to review the notions taught in the following courses: Statistics, Probability and Statistical Inference, and Statistical Models II.
Teaching methods
The course includes face-to-face lectures delivered in person, concerning the theoretical aspects of the course, and accompanied by practical sessions. The classes take place in the computer laboratory. During the teaching activities, with the support of R, RStudio, the RMarkdown environment, and the SAS software, students learn how to analyse data, estimate Bayesian models, and accompany the analyses with comments and interpretations, producing documents that make it possible to reproduce and replicate the analyses carried out.
Weekly review exercises are assigned, based on real or simulated data, through which students are encouraged to address applied problems consistent with the theoretical topics presented in class, also fostering the development of cooperative learning. The course consists of 35 hours of lectures, devoted to the presentation of theoretical and methodological aspects, and 12 hours of interactive teaching, devoted to guided exercises, applications using R/RStudio/RMarkdown and SAS, discussion of results, and problem-solving activities. The asynchronous video recordings made available on the e-learning platform constitute supplementary study support material and do not replace in-person teaching activities.
Assessment methods
The following assessment methods apply both to attending and non-attending students. The exam consists of a written test, with open-ended questions and applied exercises, which may be followed, at the request of either the student or the instructor, by an optional oral interview. No mid-term tests are scheduled. The written test lasts a maximum of two hours and takes place in the computer laboratory. During the exam, students must answer open-ended theoretical questions and solve applied exercises related to the topics covered during the lectures and practical sessions.
The theoretical questions are aimed at assessing the understanding of the fundamental concepts of Bayesian statistical inference and related advanced methods. The applied exercises, carried out using R, RStudio, RMarkdown, and the SAS software, make it possible to assess the student’s ability to apply Bayesian statistical models to real or simulated data, as well as to produce reproducible reports containing code, analyses, and interpretation of the results.
The written examination is graded on a scale out of 30, according to a scoring rubric communicated to students before the exam. The assessment takes into account: the theoretical correctness of the answers; the appropriateness of the model choice; the correctness of the computational implementation; the critical interpretation of the results; and the clarity and completeness of the written communication. The optional oral examination, if requested by the student or by the instructor, consists of a discussion of the written examination and of the theoretical topics covered in the course, and may confirm, supplement, or modify the final grade. During the examination, students are allowed to use the teaching materials and the materials provided by the instructor, including the R and SAS code developed during the course activities. The exam is considered passed with a minimum grade of 18/30.
Textbooks and Reading Materials
The main teaching material consists of lecture notes prepared by the instructor, covering the theoretical topics of the course, the applications developed with the R software, the exercises, and the corresponding solutions. The lecture notes are made available on the course page on the University e-learning platform.
At the end of each lecture, the slides used, the computing programs, the datasets used during the practical sessions, and the support materials are made available. Exercises are assigned weekly, together with the corresponding solutions. Examples of exam papers from previous years are also available on the same page of the e-learning platform.
The main bibliographic references are reported in the course lecture notes. The following fundamental reference texts, available at the University library, including in e-book format, are listed below:
Albert, J. (2009). Bayesian computation with R. Springer Science & Business Media.
Albert, J., Hu, J. (2019). Probability and Bayesian modeling. Chapman and Hall/CRC.
Bartolucci, F., Farcomeni, A., Pennoni, F. (2013). Latent Markov Models for longitudinal data, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton.
Migon, H. S., Gamerman, D., Louzada, F. (2014). Statistical inference: an integrated approach. Chapman & Hall.
Pennoni, F. (2026). Dispensa di Inferenza Bayesiana: Teoria e applicazioni con R e SAS. Dipartimento di Statistica e Metodi Quantitativi, Università degli Studi di Milano-Bicocca.
Reich, B. J. (2026). Bayesian Statistical Methods: With Applications to Machine Learning. CRC Press.
Robert, C., Casella, G. (2004). Monte Carlo Statistical Methods (2nd ed.). Springer–Verlag, New York.
SAS Institute. (2012). SAS/STAT® 12.1 User's Guide: The MCMC Procedure (PROC MCMC).
R Core Team (2026). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. https://www.R-project.org/
Semester
1st semester, Cycle II, November 2026 – January 2027.
Teaching language
The course is delivered in Italian. Erasmus students may use the teaching material available in English, provided by the instructor upon request. They may also request to take the exam in English.
