Al termine della lezione uno studente mi ha fatto notare che, sul sito https://www.youmath.it/, in particolare alla pagina su Come controllare se una funzione è iniettiva viene detto che una funzione f è iniettiva se, per ogni x1, x2 appartenenti al dominio di f, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2, e questa sembrava diversa dalla definizione che io fornisco nelle slide e discuto nelle lezioni, cioè una funzione f con dominio A è iniettiva se
\( \forall x_1, x_2 \in A, \textrm{se } x_1 \neq x_2 \textrm{ allora } f(x_1) \neq f(x_2) \)
In realtà le due definizioni sono equivalenti.
Colgo questa occasione per trattare un concetto più generale di logica che probabilmente non ho sottolineato adeguatamente a lezione e mi sembra importante perché spesso non è chiaro agli studenti.
Dati due enunciati p e q, mostrare che è vero l'enunciato composto \( p \Rightarrow q \), letto "p implica q" (o "se p allora q", o "p è condizione sufficiente di q", o ancora "q è condizione necessaria di p") è equivalente a mostrare che è vero l'enunciato composto \( \bar{q} \Rightarrow \bar{p} \), letto "non-q implica non-p".
Esempio: "Se piove allora è nuvoloso" è un'affermazione logicamente equivalente a "se non è nuvoloso allora non piove".
Quindi:
\( ( f(x_1) = f(x_2) ) \Rightarrow (x_1 = x_2) \)
e
\( (x_1 \neq x_2) \Rightarrow ( f(x_1) \neq f(x_2) ) \)
sono equivalenti e le due definizioni di funzione iniettiva (quella discussa da me e mostrata nelle slide, e quella utilizzata nel sito di matematica) sono identiche.
A questo proposito colgo anche l'occasione per segnalare che il sito a cui ha fatto riferimento lo studente (https://www.youmath.it/) è fatto molto bene e potete
tranquillamente prenderlo come fonte autorevole per qualsiasi dubbio potreste avere.
Cordiali saluti
Giuseppe