Problemi con la risoluzione degli esercizi 3 e 4 dell'Unità 1

Problemi con la risoluzione degli esercizi 3 e 4 dell'Unità 1

by Lorenzo Maiocchi -
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Buongiorno a tutti,

Durante lo svolgimento degli esercizi dell'unità 1, ho riscontrato dei problemi nella risoluzione dei numeri 3 e 4 e mi stavo chiedendo se qualcuno potesse darmi una mano per chiarire alcuni dubbi:

-(esercizio 3): Partendo con la premessa che il concetto di funzione iniettiva l'ho appreso e anche il metodo per trovare una funzione inversa mi è chiaro, sono partito spedito nella realizzazione dei passaggi per trovare l'inversa delle funzioni dell'esercizio. Quando ho controllato le soluzioni per vedere se fosse tutto giusto, mi sono accorto che mi mancava una parte fondamentale, cioè la verifica dell'iniettività di queste funzioni. Non riesco a comprendere il passaggio logico che viene compiuto nella dimostrazione.

-(esercizio 4):Questo esercizio invece non sono riuscito a svolgerlo in nessun modo, nonostante abbia capito ciò che richiesse il problema. Dopo aver visionato le soluzioni proposte dal professore, ho riprovato ad eseguirlo per via "meccanica" sostituendo la x con varie opzioni e riuscendo a determinarne la non invertibilità in R. Il secondo punto invece, (che chiedeva di trovare il più grande intervallo contente il punto x=0 , tale che la restrizione della funzione a questo intervallo sia invertibile), non sono riuscito a risolverlo. Confrontando le soluzioni, ciò che non mi risulta chiaro è come si trovi questo intervallo.

Vi ringrazio in anticipo per eventuali risposte (nel caso non dovessi visualizzarle nell'immediato). Se qualcosa del mio messaggio dovesse risultare poco comprensibile, vi prego di farmelo notare così da poter essere il più preciso possibile!

Grazie ancora e buon weekend!

In reply to Lorenzo Maiocchi

Ri: Problemi con la risoluzione degli esercizi dell'Unità 1

by Giuseppe Vittucci Marzetti -
Caro Lorenzo,

prima di rispondere alle tue domande faccio due premesse generali.

La prima riguarda il fatto che, contrariamente ai test e agli esempi di esame (presenti sia nell'archivio esami sia in corrispondenza di alcune unità), gli esercizi relativi alle diverse unità, con relative soluzioni (che ho controllato), sono stati predisposti dalla tutor degli scorsi anni. È una dottoranda di matematica e questo si riflette a volte nel modo leggeremente più formale in cui gli esercizi vengono posti e risolti. Si tratta in genere di esercizi di matematica più "classici", che ho deciso di mantenere perché tornano utili come appunto esercizi.

Seconda premessa. Se sentite il bisogno di ulteriori esercizi oltre quelli che trovate sul sito, potete utilizzare quelli presenti nel vostro manuale alla fine di ogni capitolo. Ci sono sempre le soluzioni (il risultato finale). Se poi rimanete con qualche dubbio relativo al procedimento per arrivare al risultato, potete sempre chiedere al sottoscritto utilizzando il forum o a lezione o in privato.

Andiamo alle domande.

Esercizio 1.3: Verifica dell'iniettività delle funzioni prima del calcolo dell'inversa
Partiamo dalla definizione di funzione iniettiva. Una funzione f è iniettiva se, per ogni x1, x2 appartenenti al dominio di f, f(x1) = f(x2) allora x1 = x2, oppure in modo equivalente se x1 ≠ x2 allora f(x1) ≠ f(x2) (vedi la discussione che faccio qui).

Per mostrare ad esempio che f(x) = 1-2x è iniettiva posso quindi partire dalla relazione x1 ≠ x2 e mostrare che da questo segue che f(x1) ≠ f(x2) (che è quello che viene fatto nelle soluzioni caricate), oppure in modo equivalente partire da f(x1) = f(x2) e mostrare che questo implica x1 = x2. Questo è quello che faccio qui sotto.

Prediamo due generici numeri reali x1 e x2 e assumiamo che questi siano tali che:

\( 1-2x_1 = 1-2x_2 \)

ora, se questo è vero, segue che:

\( 1-2x_1 -1 = 1-2x_2 -1 \newline -2x_1 = -2x_2 \newline \frac{-2x_1}{-2} = \frac{-2x_2}{-2} \newline x_1 = x_2 \)

Per cui se f(x1) = f(x2) allora x1 = x2. Dato che x1 e x2 sono generici, questo dimostra che la funzione è iniettiva.

Esercizio 1.4: Verifica della non iniettività di f(x) = (x + 1)2 e determinazione del più grande intervallo contenente il punto x = 0 per cui f è iniettiva.
Premetto che questo esercizio lo capirete meglio dopo che avrete ripassato le funzioni quadratiche.

Faccio altresì notare che le funzioni quadratiche non sono mai iniettive. Per capirlo riflettete sul fatto che il grafico di una funzione quadratica è sempre una qualche parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate. Quindi esisterà sempre una stessa ordinata (uno stesso y) associata a due diverse ascisse (due diverse x).

Ora, per mostrare che f(x) = (x + 1)2 non è iniettiva, è sufficiente mostrare che esiste almeno una coppia di valori di x che, nonostante siano diversi, hanno la stessa immagine mediante f. Es. i valori 2 e -4. Infatti si ha:

\( f(2)=(2+1)^2 = 9 = (-4+1)^2 = f(-4) \)

Per risolvere il secondo punto (determinazione del più grande intervallo contenente il punto x = 0 per cui f è iniettiva) occorre avere in mente il grafico della funzione.
Ora, se ricordate che il grafico di g(x) = x2 è una parabola convessa con vertice nell'origine degli assi, il grafico di  f(x) = (x + 1)2 avrà la stessa forma ma sarà traslato di -1 parallelamente all'asse delle ascisse. Perché? Perché è vero che  g(x) = f(x-1). Guardate la figura qui sotto.

Grafici di x^2 e (x+1)^2

Quindi conoscete il grafico della funzione. A questo punto sapete che ottenete da f una funzione iniettiva se vi limitate a considerare i valori di x associati ad uno dei due rami della parabola. Essendo il vertice nel punto di ascissa -1, i valori di x minori o uguali a -1, oppure quelli maggiori o uguali a -1.
Dei due intervalli quello che contiene il punto x = 0 è il secondo e quindi sarà quello l'intervallo da considerare.

Spero di aver chiarito tutti i dubbi. Se non fosse così, ditelo pure.

Cordiali saluti
Giuseppe
In reply to Giuseppe Vittucci Marzetti

Ri: Problemi con la risoluzione degli esercizi dell'Unità 1

by Lorenzo Maiocchi -
Per me adesso è tutto molto più chiaro,

La ringrazio!