Un video didattico di Mathologer (Burkard Polster e Marty Ross) sull'equivalenza delle rappresentazioni decimali \( 9,\bar{9} \) e 10.

In termini formali può dirsi che \( 9,\bar{9} \) è un modo diverso di indicare una particolare serie geometrica convergente, ovvero il limite della successione delle somme parziali della successione geometrica \( f(x) = 9 \left ( \frac{1}{10} \right )^x \), di ragione 1/10:

\( 9,\bar{9} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{x=0}^n 9 \left ( \frac{1}{10} \right )^x = \lim_{n \to +\infty} 9 \frac{1-\left ( \frac{1}{10} \right )^{n+1} }{1- \frac{1}{10}} = \frac{9}{1-\frac{1}{10}} = 10 \)

dove \( \sum \) è il simbolo di sommatoria e in questo caso indica la somma dei primi n+1 termini della successione, cioè:

\( \sum_{x=0}^n f(x)= f(0) + f(1) + f(2) + \ldots + f(n) = 9 + \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \ldots +\frac{9}{10^n} \)