Esercizio 3a

Occorre calcolare le combinazioni semplici di 90 elementi di classe 3. Per cui la soluzione è data da:

\( C_{90,3} = \binom{90}{3} = \frac{90!}{3! \, 87 !} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88}{6} = 15 \cdot 89 \cdot 88 = 117\,480 \)

Nelle soluzioni il problema è impostato correttamente, ma nel calcolo del coefficiente binomiale c'è un refuso.

Esercizio 5d

Si tratta di un permutazione con ripetizione di 14 oggetti di cui rispettivamente 3 (le palline bianche), 6 (le palline rosse) e 5 (le palline verdi) uguali tra loro. Il risultato sarà pertanto uguale a:

\( P'_{3,6,5} = \frac{14!}{3!\,6!\,5!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 7 = 168\,168 \)

Nelle soluzioni il problema è impostato correttamente, ma nel calcolo c'è un errore.

Esercizio 6a

Occorre calcolare le combinazioni con ripetizione di 5 elementi (i bambini tra cui suddividere le caramelle) di classe 8 (le 8 caramelle). Per cui la soluzione sarà data da:

\( C'_{5,8} = C_{5+8-1,8} = C_{12,8} = \binom{12}{8} = \frac{12!}{8! \, 4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495 \)

Nelle soluzioni il problema è impostato correttamente, ma nel calcolo del coefficiente binomiale c'è un refuso.

Esercizio 6b

La soluzione dell'esercizio 6b (In quanti modi possiamo collocare 6 oggetti uguali in 4 contenitori in modo che nessuno di essi sia vuoto?) è errata.

La soluzione riportata, che calcola le combinazioni con ripetizione di 4 elementi di classe 6, sarebbe corretta nel caso il problema non richiedesse l'ulteriore condizione che nessuno dei contenitori fosse vuoto.
Imponendo la condizione che ciascuno dei 4 contenitori contenga almeno un oggetto, la soluzione è invece pari alle combinazioni con ripetizione di 4 elementi di classe 2 (i 2 oggetti rimanenti dei 6 originari da collocare una volta che in ognuno dei 4 contenitori è stato posizionato un oggetto per soddisfare la condizione).

Pertanto la soluzione è:

\( C'_{4,2} = C_{5,2} = \frac{5!}{2! 3!} = 10 \)