Course Syllabus
Obiettivi
L’obiettivo del corso è di fornire, sia dal punto di vista concettuale che da quello del calcolo,
gli strumenti matematici di base che sono essenziali per frequentare con successo un corso di studi
universitari in un’area scientifica. Il corso intende anche fornire i prerequisiti matematici richiesti per
gli altri corsi del piano di studi.
- Conoscenza e comprensione
Al termine del corso, lo studente avrà acquisito una solida conoscenza delle principali proprietà degli insiemi, dei principali
insiemi numerici (in particolare, i numeri reali), delle funzioni tra insiemi, delle funzioni elementari e dei numeri complessi. Dovrà inoltre
conoscere i risultati fondamentali della teoria del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale e per successioni
e serie numeriche. Lo studente dovrà inoltre apprendere i risultati più importanti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
e le principali tecniche di integrazione per equazioni lineari e per alcuni semplici tipi di equazioni non lineari. - Conoscenza e comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di calcolare limiti di successioni e funzioni (e, in particolare, di gestire le forme indeterminate), di
calcolare derivate, di applicare i principali strumenti del calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale. Infine, sarà
in grado di calcolare integrali attraverso i metodi di integrazione per parti e per sostituzione e di risolvere alcuni semplici tipi
di equazioni differenziali ordinarie. - Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di riconoscere quali strumenti matematici siano appropriati per risolvere
problemi specifici di calcolo a una variabile e di valutare la validità delle ipotesi e delle approssimazioni
necessarie per la loro applicazione. - Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di esprimere ragionamenti matematici con chiarezza e precisione, sia in forma scritta
che orale. Sarà in grado di spiegare i passaggi logici alla base di un calcolo o di una dimostrazione e di
interpretare i risultati matematici in termini fisici. - Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà la capacità di apprendere autonomamente nuovi concetti matematici e di applicarli in
diversi contesti scientifici. Il corso fornirà le basi necessarie per successivi studi più avanzati in fisica e matematica.
Contenuti sintetici
Insiemi numerici; numeri reali e complessi;
Concetti astratti di base sulle funzioni (dominio, iniettività, funzione inversa, composizione,
ecc.);
Funzioni elementari: funzioni potenza, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmi, i loro
grafici e le loro proprietà di base;
Limiti di successioni numeriche e di funzioni di una variabile reale; continuità; principali pro-
prietà locali e globali delle funzioni continue;
Derivate; principali teoremi del calcolo differenziale in una variabile reale;
Applicazioni del calcolo differenziale; sviluppi di Taylor;
Integrali definiti e indefiniti; integrali impropri; tecniche di integrazione di base;
Serie numeriche; criteri di convergenza;
Equazioni differenziali ordinarie e principali formule di risoluzione.
Programma esteso
- L’insieme dei numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Proprietà
elementari delle funzioni. Funzioni elementari. Numeri complessi. - Limiti delle successioni. Definizioni e prime proprietà. Successioni limitate. Operazioni con
limiti. Teoremi di confronto. Successioni monotone. Forme indeterminate. Limiti speciali. - Limiti di funzioni e funzioni continue. Definizione e prime proprietà dei limiti di funzioni e
delle funzioni continue. Tipi di discontinuità. Limiti e continuità della composizione di funzioni.
Alcuni importanti teoremi sulle proprietà locali e globali delle funzioni continue. - Derivate e studio delle funzioni. Definizione di derivata. Calcolo delle derivate. Teoremi di
Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy e loro conseguenze. Derivate di secondo ordine e di ordine
superiore. Funzioni monotone e convesse. Estremi e punti di flesso. Applicazioni allo studio
delle funzioni. Teorema di De L’Hôpital e formula di Taylor. - Integrazione. Integrali definiti e metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile; classe
delle funzioni integrabili. Proprietà degli integrali definiti. Integrali indefiniti. Teorema fonda-
mentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrazione per parti e per sostituzione.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrali impropri e criteri di convergenza. - Serie numeriche. Definizione di serie numerica. Carattere di una serie. Serie armoniche e
geometriche. Criteri di convergenza per le serie numeriche. - Equazioni differenziali. Alcuni fatti teorici di base sulle equazioni differenziali ordinarie (prob-
lema di Cauchy, soluzioni globali e locali, unicità, regolarità). Formule di integrazione per
equazioni lineari e per alcuni semplici tipi di equazioni non lineari.
Prerequisiti
Il corso richiederà la conoscenza delle nozioni matematiche generalmente sviluppate
nella scuola secondaria (d’altra parte, non è richiesta alcuna conoscenza pregressa di analisi matemat-
ica). Prerequisiti essenziali possono essere considerati i seguenti: equazioni e disequazioni algebriche
di primo e secondo grado, geometria analitica planare, trigonometria, funzioni esponenziali e logarit-
miche. Gli studenti che avessero ereditato dalla scuola superiore lacune nella preparazione matematica
di base sono particolarmente invitati a seguire le lezioni di tutorato. Inoltre, possono usufruire del
pre-corso MOOC di Matematica offerto dall’Università di Pavia.
Modalità didattica
Il programma delle lezioni sarà organizzato indicativamente in otto ore a settimana. Di
queste, quattro saranno offerte sotto forma di lezioni registrate (podcast), mentre le restanti quattro
consisteranno in lezioni in presenza che si terranno presso il Dipartimento di Fisica dell’Università di
Pavia. All’inizio di ogni settimana, indicativamente quattro ore di podcast saranno pubblicate sul sito Kiro
del corso (e rimarranno disponibili per il resto dell’anno). Ulteriore materiale didattico (in particolare,
una serie di esercizi proposti) potrà essere pubblicato sempre con cadenza settimanale. Durante le
lezioni in presenza il docente svilupperà nozioni e spiegazioni aggiuntive che completeranno il materiale
contenuto nei podcast. Inoltre, saranno discussi in aula alcuni degli esercizi proposti.
Sarà infine offerto un programma di tutoraggio: gli insegnanti o i tutor saranno disponibili per
discutere gli esercizi, per rispondere a domande e chiarire dubbi. La partecipazione a questa attività
è fortemente incoraggiata.
Materiale didattico
Libro consigliato:
C. Canuto and A. Tabacco, Mathematical Analysis 1, Pearson, 2022,
disponibile anche in italiano:
C. Canuto and A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson, 2021.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame consiste in una prova scritta obbligatoria, eventualmente integrata da una parte orale. La prova
scritta è a libri chiusi: non sono ammessi appunti, libri, calcolatrici o strumenti simili, dispositivi dotati di
macchina fotografica o in grado di connettersi a Internet. In sede d’esame gli studenti sono tenuti a esibire
un documento d’identità con fotografia.
Nella prova scritta, gli studenti devono risolvere esercizi sugli argomenti del corso e rispondere
ad alcune domande di carattere teorico sul programma. Per alcuni degli esercizi o domande, saranno
richieste solo le soluzioni o le risposte, senza necessità di dettagliare il procedimento. Altri esercizi o
domande, invece, richiederanno una soluzione o una risposta completamente dettagliata. Per questo
tipo di esercizi, saranno valutati sia la correttezza della risposta che la sua giustificazione.
Il voto finale dell’esame di Calculus sarà ottenuto come media ponderata dei voti ottenuti
negli esami di Calculus I e Calculus II.
Orario di ricevimento
Su appuntamento. Si prega di contattare il docente unicamente via mail.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to provide, both from a conceptual and from a calculus point of view,
the basic mathematical tools which are essential to successfully attend a university undergraduate
program in a scientific area. The course should also provide the required mathematics prerequisites
for the other courses of the study plan.
- Knowledge and understanding
By the end of the course, the student will have acquired a solid understanding
of the main properties of sets, of the main numerical sets (real numbers in
particular), of functions between sets, of elementary functions and of complex numbers. Also, they
should know the basic results in the theory of differential and integral calculus for functions of one
real variable and of numerical sequences and series. The student should also learn the most important
results in the theory of ordinary differential equations and the main integration techniques for linear
equations and for some simple types of nonlinear ones. - Applying knowledge and understanding
The student will be able to compute limits of sequences and functions (and, in particular, to manage
indeterminate forms), to compute derivatives, to apply the main tools of differential calculus for
functions of one real variable. Finally, they will be able to compute integrals by the methods of integrations
by parts and by substitution, and to solve some simple types of ordinary differential equations. - Making judgements
The student will develop the ability to recognize which mathematical tools are appropriate for solving
specific problems in one-variable calculus, and to assess the validity of assumptions and approximations
involved in their application. - Communication skills
The student will be able to express mathematical reasoning with clarity and precision, both in written form
and orally. They will be capable of explaining the logical steps behind a calculation or proof, and of
interpreting mathematical results in physical terms. - Learning skills
The student will develop the ability to learn new mathematical concepts independently and to apply them in
different scientific contexts. The course will provide the foundations necessary for subsequent more
advanced study in physics and mathematics.
Contents
Numerical sets; real and complex numbers;
Basic abstract concepts about functions (domain, injectivity, inverse function, composition, etc.);
Elementary functions: power functions, trigonometric functions, exponentials, logarithms, their
graphs and their basic properties;
Limits of numerical sequences and of functions of one real variable; continuity; main local and
global properties of continuous functions;
Derivatives; main theorems of differential calculus in one real variable;
Applications of differential calculus; Taylor expansions;
Definite and indefinite integrals; improper integrals; basic integration techniques;
Numerical series; convergence criteria;
Ordinary differential equations and basic resolution formulas.
Detailed program
- The set of real numbers. Maximum, minimum, supremum, infimum. Elementary properties of
functions. Elementary functions. Complex numbers. - Limits of sequences. Definitions and first properties. Bounded sequences. Operations with
limits. Comparison theorems. Monotone sequences. Undetermined forms. Special limits. - Limits of functions and continuous functions. Definition and first properties of limits of functions
and of continuous functions. Types of discontinuities. Limits and continuity of the composition
of functions. Some important theorems about local and global properties of continuous functions. - Derivatives and study of functions. Definition of derivatives. Computation of derivatives. The-
orems of Fermat, Rolle, Lagrange and Cauchy and their consequences. Second and higher order
derivatives. Monotone and convex functions. Extrema and inflection points. Applications to
the study of functions. De L’Hôpital’s theorem and Taylor’s formula. - Integration. Definite integrals and method of exhaustion. Definition of integrable functions
and classes of integrable functions. Properties of the definite integrals. Indefinite integrals.
Fundamental theorem of integral calculus. Integration methods. Integration by parts and by
substitution. Integration of rational functions. Improper integrals and convergence criteria. - Numerical series. Definition of numerical series and of their character. Harmonic and geometric
series. Convergence criteria for series. - Differential equations. Some theoretical facts about ordinary differential equations (Cauchy’s
problem, global and local solutions, uniqueness, regularity). Integration formulas for linear
equations and for some simple types of nonlinear equations.
Prerequisites
The course will require the knowledge of the mathematical notions generally devel-
oped in the secondary school (on the other hand, no previous knowledge of mathematical analysis
is necessary). Essential prerequisites can be considered the following ones: algebraic equations and
inequalities of the first and second degree, planar analytic geometry, trigonometry, exponential and
logarithmic functions. The students who experience some lack of basic mathematical notions from the
high school are especially invited to follow the tutoring classes. Moreover, they can take advantage of
the MOOC Mathematics pre-course offered by the University of Pavia.
Teaching form
The class schedule will be organized into (indicatively) eight hours per week. Of these, four
will be offered in the form of recorded lectures (podcasts), while the remaining four will consist of
in-person lectures taking place at the Department of Physics of Pavia University. At the beginning of
every week, indicatively four hours of podcasts will be published on the Kiro website of the course (and
they will remain available for the rest of the year). Some additional material (in particular, a number
of proposed exercises) may be also published weekly. During the in-person classes the teacher will
develop additional notions and explanations complementing the material contained in the podcasts.
Moreover, some of the proposed exercises will also be discussed.
A tutoring program will also be offered: the teachers or tutors will be available to discuss
exercises, to answer questions, and to clarify doubts. Participation to this activity is strongly encour-
aged.
Textbook and teaching resource
Suggested text:
C. Canuto and A. Tabacco, Mathematical Analysis 1, Pearson, 2022,
also available in Italian:
C. Canuto and A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson, 2021.
Semester
First semester
Assessment method
The exam consists of a compulsory written test, possibly complemented by
an oral part. The written test is a closed books test: notes, books, calculators or similar instruments,
items with a photocamera or able to connect to the internet are not allowed. Students are required
to provide an ID card with a photograph.
In the written test, students should solve some exercises on the topics of the course and answer
some questions of theoretical character on the program of the course. For some of the exercises or
questions, only the solutions or the answers will be required, without any detailed explanation. Other
exercises or questions will require a fully detailed solution or answer. For these exercises, both the
correctness of the answer and the justification of it are evaluated.
The final mark of the Calculus exam will be obtained as a weighted average of the grades
obtained in the exams of Calculus I and Calculus II.
Office hours
By appointment. Please contact the teacher by email only.
