Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso vuole fornire allo studente un'adeguata conoscenza delle basi matematiche utili a comprendere i modelli che descrivono i fenomeni economici. In particolare, si intende dotare gli studenti degli strumenti matematici che, a partire dall’espressione analitica di una funzione, permettono di tracciarne un grafico qualitativo.
Ci si aspetta che gli studenti sappiano applicare i concetti teorici illustrati a lezione a semplici esercizi, simili a quelli svolti in aula.
Risultati di apprendimento attesi:
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Conoscenza e comprensione
Gli studenti acquisiranno una solida comprensione degli aspetti teorici relativi ai principali argomenti trattati durante il corso, tra cui il calcolo dei limiti e delle derivate, le successioni, le serie numeriche e il calcolo integrale. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti saranno in grado di applicare con efficacia i metodi matematici per risolvere problemi coerenti col programma del corso e per affrontare situazioni di ambito economico. -
Autonomia di giudizio
Gli studenti svilupperanno capacità logiche e analitiche utili per affrontare e risolvere problemi complessi, anche di natura interdisciplinare, valutando criticamente i risultati ottenuti. -
Abilità comunicative
Gli studenti impareranno ad utilizzare un linguaggio matematico chiaro e rigoroso, in modo da saper esprimere con precisione e coerenza le conoscenze acquisite e da comunicare efficacemente idee, metodi e risultati. -
Capacità di apprendimento
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo, che consentirà loro di affrontare con consapevolezza e successo anche studi successivi, di livello più avanzato.
Contenuti sintetici
Studio delle funzioni di una variabile reale.
Cenni alle funzioni di due variabili reali.
Serie.
Integrali.
Programma esteso
Generalità sulle funzioni.
Funzioni di una variabile reale: dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Monotonia, massimi e minimi. Funzione inversa.
Limiti e teoremi relativi.
Successioni e serie: definizione di serie (carattere e somma), condizione necessaria per la convergenza, serie geometrica, serie telescopica, serie armonica, serie a termini nonnegativi (criteri di convergenza), serie a termini di segno alterno (criterio di Leibniz).
Funzioni continue: teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi. Punti di discontinuità.
Forme di indecisione e loro risoluzione.
Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Punti di non derivabilità. Legame tra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle, Lagrange, Fermat.
Teoremi di De l'Hopital. Formula di Taylor.
Convessità e concavità: definizione e caratterizzazione del secondo ordine.
Funzioni di due variabili reali: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Integrali indefiniti, proprietà e tecniche di calcolo (integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali). Definizione di integrale di Riemann e prime proprietà, teoremi sugli integrali, integrali impropri, criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Teoremi di De l'Hopital. Formula di Taylor.
Convessità e concavità: definizione e caratterizzazione del secondo ordine.
Cenni alle successioni.
Funzioni di due variabili reali: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Prerequisiti
Algebra elementare, equazioni e disequazioni, nozioni di base di geometria analitica.
Metodi didattici
l corso si compone di 56 ore di lezione e di 24 ore di esercitazione.
Parte della didattica sarà erogata da remoto (al più il 30% delle ore); la restante parte si svolgerà in presenza.
Per le lezioni da remoto, gli studenti saranno avvisati dalla docente con congruo anticipo e le stesse potranno essere erogate in streaming oppure in modalità asincrona.
Le lezioni e le esercitazioni si svolgeranno principalmente sotto forma di didattica erogativa.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede una prova finale scritta e una prova orale (facoltativa) in caso di voto sufficiente della prova scritta.
Sono previste due prove parziali scritte, di cui una a metà e l'altra alla fine del corso, ciascuna della durata di un'ora e mezza.
La prova scritta relativa all'intero programma (della durata di 2 ore) contiene 5 esercizi e 2 domande di teoria.
Per le due domande di teoria, viene richiesta la conoscenza dei teoremi, con relativa dimostrazione, se vista a lezione, e delle definizioni di alcuni concetti importanti.
Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari
Esercizio 2: a) Limiti b) Serie (con limiti)
Esercizio 3: a) Vario b) Funzioni di due variabili
Esercizio 4: Integrali
Esercizio 5: Studio di funzione
In riferimento alla prova scritta, oltre alla correttezza dei risultati, viene valutata la capacità di motivare i singoli passaggi.
L’eventuale prova orale consiste in un colloquio che inizia con una discussione della prova scritta e che prosegue con domande sugli argomenti presenti nel programma d'esame.
Può contribuire in maniera positiva o in maniera negativa al voto finale.
Testi di riferimento
Slide del corso e materiale didattico fornito sulla piattaforma e-learning.
Libri di testo:
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica - Metodi e applicazioni". Edizioni CEDAM
Guerraggio, A. "Matematica", seconda, terza o (meglio) quarta edizione. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R. "Matematica - Esercizi e temi d’esame". Edizioni CEDAM
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims at providing students with the mathematical knowledge of the topics useful to understand models describing economic phenomena. In particular, students will learn how to use the mathematical tools which, starting from the function analytic formulation, allow to draw a qualitative graph of the function.
Students are expected to be able to apply the theoretical concepts seen during the course to simple problems, similar to those solved during lectures and practical exercise sessions.
Expected Learning Outcomes (Dublin Descriptors):
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Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the theoretical aspects connected with the main topics covered during the course, such as limits, derivatives, numerical sequences and series, integral calculus. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply mathematical methods to solve practical problems consistent with the course topics and to deal with real-world situations in the economic field. -
Making judgements
Students will develop logical and analytical skills useful for tackling and solving complex problems, including those interdisciplinary in nature, and for critically evaluating the obtained results. -
Communication skills
Students will learn how to correctly use the mathematical language, so as to accurately and coherently express the acquired theoretical notions, as well as to effectively communicate ideas, methods and results. -
Learning skills
Students will develop an independent study method, enabling them to approach subsequent, more advanced studies with awareness and success.
Contents
Analysis of functions of one variable.
Introduction to the study of functions of two variables.
Series.
Integrals.
Detailed program
Introduction to functions.
Functions of one real variable: domain, image set, graph of a function. Elementary functions. Monotonicity, maxima and minima. Inverse function.
Limits and related theorems.
Sequences and series: definition of series (types and summation), necessary condition for convergence, geometric series, telescopic series, harmonic series, series with non-negative terms (convergence criteria), alternating series (Leibniz criterion).
Continuous functions: Weierstrass theorem, Bolzano theorem, intermediate value theorem. Discontinuities.
Indeterminate forms in the computation of limits.
Differential calculus: definition of the derivative and geometric interpretation. Points of non-differentiability. Relationship between continuity and differentiability. Rolle, Lagrange and Fermat theorems.
L'Hopital's rule. Taylor's theorem.
Convexity and concavity of a function: definition and characterization based on the second order derivative.
Functions of two real variables: domain, level curves, partial derivatives, critical points.
Indefinite integral, definition and main properties, antiderivative computation (integration by parts, by substitution, integration of rational functions). Riemann integral, theorems on integrals, improper integrals, convergence criteria for improper integrals.
Prerequisites
Elementary tools from algebra, equations and inequalities, basic knowledge of analytic geometry.
Teaching methods
The course comprises 56 hours of lectures and 24 hours of practical exercise sessions.
Some of the lectures will be delivered online (at most 30% of the total hours).
The teacher will communicate with adequate notice which lessons will be delivered online.
Most of the lectures and practical exercise sessions will be based on conventional teaching methods.
Assessment methods
Final written exam and (subsequent, optional) oral exam in case the grade assigned to the written exam is at least 18/30.
There will be a midterm written exam, lasting 1.5 hours.
In the written exam covering all course topics (lasting 2 hours), students have to solve 5 practical exercises and answer 2 open theoretical questions.
For the two theoretical questions, it is required to enunciate and prove theorems (if the proof has been illustrated during the lectures), and to provide definitions presented during the course.
The structure of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of the graph of elementary functions
Exercise 2: a) Limits b) Series (with limits)
Exercise 3: a) Miscellaneous b) Function of two variables
Exercise 4: Integrals
Exercise 5: Study of a function
In grading the written exam, in addition to the correctness of the results, the ability in explaining the various steps will be considered as well.
The (optional) oral exam starts with a discussion of the written exam, followed by some questions regarding the topics of the course.
It can contribute either positively or negatively to the final grade.
Textbooks and Reading Materials
Slides and further teaching material will be made available on the e-learning course webpage.
Suggested textbooks:
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica - Metodi e applicazioni". Edizioni CEDAM
Guerraggio, A. "Matematica", second, third or (better) fourth edition. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R. "Matematica - Esercizi e temi d’esame". Edizioni CEDAM
Semester
First semester.
Teaching language
Italian.
