Caro Edoardo,
rispondo sotto sui diversi punti:
- Esercizio 7, punti a) e b). Sì, assolutamente corretto. Ad esempio, nell'esercizio 7a, si poteva calcolare la seguente permutazione con
ripetizione:
\( P'_{4,3} = \frac{7!}{4!\,3!} \)
Esercizio 8 punti b) c).
Sì, il risultato è lo stesso, anche se ti conviene sempre ragionare in linea tendenziale in termini di casi favorevoli su casi possibili per evitare errori marchiani. Perché come la pensi tu è "troppo semplice". Per capirlo però devo anticiparti alcuni concetti di teoria della probabilità che poi vedrai meglio in statistica.
Prendiamo il caso di calcolare la probabilità che una certa ragazza (chiamiamola Barbara) venga scelta per prima nella sequenza che dispone le 10 ragazze e i 5 ragazzi in ordine casuale. In questo caso il numero dei casi favorevoli è solo 1, mentre i casi possibili sono 15 e quindi, come dici giustamente tu, si ha 1/15 di probabilità: la probabilità di pescare la pallina con il nome Barbara da un'urna contenente 15 palline.
Qual è la probabilità però che venga scelta per seconda? Qui è corretto ragionare nel senso che tale probabilità deve essere uguale a quella che "non venga scelta alla prima estrazione" e "venga scelta alla seconda". Questa probabilità è uguale a: 14/15 (la probabilità che non venga scelta alla prima estrazione) per 1/14 (la probabilità che venga scelta alla seconda estrazione condizionata al fatto che non sia stata scelta alla prima). Il risultato è sempre 1/15 ma non è così scontato che lo sia...
Ti faccio un esempio per renderti chiaro che questo risultato è tutt'altro che scontato e per molti controintuitivo. Immagina una roulette russa che si svolge in questo modo. C'è una pistola con un tamburo da 6 colpi e un solo proiettile inserito. Ci sono 6 persone e il gioco funziona in questo modo. La 6 persone sono disposte in un certo ordine. La pistola viene chiusa e il tamburo viene girato a caso. Il primo della fila si punta la pistola alla tempia e preme il grilletto. Se muore il gioco finisce. Se non muore, senza far ruotare nuovamente il tamburo, la pistola passa al secondo. Se il secondo muore, il gioco finisce. Se non muore, la pistola passa al terzo, e così via...
Domanda: se ti permettessero di scegliere il posto in cui sedere (primo, secondo, terzo, ecc.). Tu in quale posto preferiresti essere? Pensaci un po' e poi leggi la soluzione.
Soluzione: è indifferente. La probabilità di morire è sempre 1/6. Perché? Se sei il primo nella fila è ovviamente 1/6. Ma se sei il secondo nella fila la probabilità che hai di morire è uguale a quella che il primo non muore e la pistola passa a te e tu becchi la pallottola. Qual è questa probabilità? 5/6 (probabilità che il primo non prende l'ugello con il colpo) * 1/5 (probabilità che lo prendi tu e ora però i casi possibili sono solo 5).
Se sei il terzo nella fila? 5/6 * 4/5 * 1/4 = 1/6. ecc.
Esercizio 9. I casi possibili sono dati da tutti gli ordinamenti possibili delle date. Con ripetizione perché una data si può ripetere anche 40 volte.
I casi favorevoli sono invece dati da quegli ordinamenti in cui le date non si ripetono. Perché se si ripetono anche una sola volta hai due persone nate nello stesso giorno.
Spero di essere stato chiaro.Cordiali saluti
Giuseppe
