Poiché nella lezione di oggi ho affrontato, tra le altre cose, anche la risoluzione di questo esercizio, colgo l'occasione per ritornarci qui e mostrarvi che, applicando le proprietà dei logaritmi, le diverse soluzioni che sembrano diverse lo sono solo apparentemente.
Nell'esercizio avevate la seguente disequazione esponenziale da risolvere:
\( 2^{2+x} > 3^x \)
Ricordato che qui non avete problemi di condizioni di esistenza del logaritmo una volta che lo applicate perché l'argomento è sicuramente positivo (la x compare in entrambi i casi all'esponente e quindi non può mai far diventare nulla o negativa la potenza), vi mostro il primo modo, lo stesso che vi ho fatto vedere a lezione e che applica prima il logaritmo naturale:
\( \ln 2^{2+x} > \ln 3^x \newline (2+x) \ln 2 > x\ln 3 \newline 2+x > x\frac{\ln 3}{\ln 2} \newline (1-\frac{\ln 3}{\ln 2}) x > -2 \newline x < \frac{-2}{1-\frac{\ln 3}{\ln 2}} = \frac{2}{\frac{\ln 3}{\ln 2}-1} = \frac{2}{\log_2 3-1} \)
Prestate in particolare attenzione al fatto che, quando ho diviso ambo i membri per il logaritmo naturale di 2 non ho cambiato il verso della disequazione, poiché ln 2 è un numero positivo (se la base è maggiore di 1 il logaritmo di qualsiasi numero maggiore di 1 restituisce un numero positivo), mentre, quando ho diviso per \( (1-\frac{\ln 3}{\ln 2}) \) ho cambiato il verso perché questo è un numero negativo.
Potevate tranquillamente risolvere applicando all'inizio il logaritmo base 2, ottenendo quindi:
\( \log_2 2^{2+x} > \log_2 3^x \newline 2+x > \log_2 3^x \newline 2+x > \frac{\log_3 3^x}{\log_3 2} \newline 2+x > \frac{x}{\log_3 2} \newline x - \frac{x}{\log_3 2} > -2\newline (1-\frac{1}{\log_3 2}) x > -2 \newline x < \frac{-2}{1-\frac{1}{\log_3 2}} = \frac{2}{\frac{1}{\log_3 2}-1} = \frac{2}{\log_2 3-1} \)
\( \log_a b = \frac{log_b b}{log_b a} = \frac{1}{log_b a} \)
In ogni caso, se non vi sentite sicuri, ogni volta che avete un logaritmo che potete calcolare, potete prendere la calcolatrice e calcolarlo per vedere che valore vi restituisce, e potete, in barba alla precisione numerica, sostituire nell'equazione quel numero (che in genere sarà solo un'approssimazione poiché è facile i logaritmi diano luogo a numeri irrazionali) e risolvere l'equazione.
Per intenderci, se avete una (dis)equazione in cui compare ad es. \( \log_3 2 \) e la calcolatrice vi dice che è circa 0,63, al posto del logaritmo metteteci quel numero e risolvete.
Del resto di fatto:
\( \frac{2}{\log_2 3-1} \approx 3.41902 \)
E quello riportato poi non è neanche l'unico modo in cui potete scrivere la soluzione mantenendo i logaritmi. Ad esempio un modo per compattare ulteriormente la soluzione potrebbe sfruttare ancora le proprietà dei logaritmi esprimendo x con l'utilizzo di un solo logaritmo. Infatti si ha:
\( \frac{2}{\log_2 3-1} = \frac{\log_2 4}{\log_2 3- \log_2 2} = \frac{\log_2 4}{\log_2 \frac{3}{2}} = \log_{\frac{3}{2}} 4 \)
E in effetti, se ci riflettete un po', la disequazione di cui stiamo trattando poteva anche essere manipolata e risolta come segue (notate che posso dividere per 2x perché so per certo che è sempre un numero maggiore di 0):
\( 2^{2+x} > 3^x \newline
2^2 \cdot 2^x > 3^x \newline
2^2 > \frac{3^x}{2^x} \newline
\left ( \frac{3}{2} \right )^x < 4 \newline
x < \log_{\frac{3}{2}} 4 \)
Come nota a margine faccio notare che il numero che la calcolatrice vi restituisce è sicuramente un'approssimazione perché ad es. \( \log_3 2 \) è un numero irrazionale e quindi potete solo approssimarlo...
Perché? Dimostrazione per assurdo: Se fosse un certo numero razionale q vorrebbe dire che esistono due numeri interi m e n tali che \( q = \frac{m}{n}
\), ma questo non è possibile perché dovrebbe aversi:
\( 3^q = 2 \newline
3^\frac{m}{n} = 2 \newline
\left ( 3^\frac{m}{n} \right )^n= 2^n \newline
3^m = 2^n \)
Ma l'ultima eguaglianza non può essere soddisfatta: poiché 3 è dispari, non è possibile moltiplicare un certo numero di volte 3 per sé stesso ottenendo un numero pari (e 2 moltiplicato per sé stesso un certo numero di volte è sicuramente un numero pari)...