Cara Amiria,
da quanto capisco ti stai riferendo all'esercizio 3e, non al 3d (in cui non ci sono valore assoluto e 1/3).
Assumendo quindi che il tuo riferimento sia al 3e, in cui l'insieme è:
\( A = \{ x \in \mathcal{R}: 0 < \lvert x - 1 \rvert < \frac{1}{3}\} \)
Come detto nella soluzione si tratta di un intorno bucato di 1 di raggio 1/3. Se guardi con attenzione il modo in cui l'insieme è definito noterai che ci sono due disequazioni con valore assoluto. La prima è:
\( \lvert x - 1 \rvert < \frac{1}{3} \)
per cui risolvendo si ottiene:
\( \begin{cases}
x - 1 & > & -\frac{1}{3} \\
x - 1 & < & \frac{1}{3}
\end{cases} \)
e quindi:
\( x \in \left (\frac{2}{3},\frac{4}{3} \right ) \)
che immagino sia la soluzione che hai trovato.
Però c'è anche una seconda disequazione:
\( \lvert x - 1 \rvert >0 \)
e questa è soddisfatta per ogni \( x \neq 1 \).
L'intersezione dei due insiemi delle soluzioni ci dà la soluzione finale:
\( x \in \left (\frac{2}{3},1 \right )\,\cup\, \left (1,\frac{4}{3} \right ) \)
In pratica, a parole, si tratta di tutti i numeri reali che distano da 1 meno di 1/3 ed escluso l'1 stesso.
Spero sia più chiaro.
Cordiali saluti
Giuseppe
