Salve,
Non sono riuscita a capire bene l’esempio che aveva fatto durante la spiegazione relativa agli ordini di infinito e infinitesimo
Riuscirebbe a spiegarmi perché:
-ha cambiato i segni ad elnx• ln elnx
-ha sostituito a -lnx la y
Cara Micol,
partiamo dal modo in cui mostro si può risolvere il limite:
\( \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{y \to +\infty} \mathrm{e}^{-y} \ln \mathrm{e}^{-y} =
\lim_{y \to +\infty} - \frac{y}{\mathrm{e}^y} = 0 \)
dove nota che:
- \( x = \mathrm{e}^{-y} \iff y = - \ln x \) e, poiché \( \lim_{x \to 0^+} - \ln x = +\infty \), si ha: \( x \to 0^+ \iff y \to +\infty \);
- il passaggio finale del limite è permesso dal fatto che si ha il rapporto tra due funzioni infinite di ordine differente (e quella al denominatore è di un ordine di infinito superiore).
Se ad esempio avessimo sostituito ad x \( \mathrm{e}^{y} \), avremmo avuto:
\( \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{y \to -\infty} \mathrm{e}^{y} \ln \mathrm{e}^{y} =
\lim_{y \to -\infty} \mathrm{e}^{y} y = 0 \cdot (-\infty) = ? \)
che appunto dava luogo ad un'altra forma indeterminata.
Finalmente, faccio notare che lo stesso limite poteva essere risolto utilizzando il teoremi di De l’Hôpital (che vedremo nell'unità 11), in base ai quali nelle forme di indecisione del tipo 0/0 e \( \infty/\infty \), date due funzioni derivabili, il limite del loro rapporto è uguale al limite del rapporto delle loro derivate:
\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)
Anticipando quanto vedremo a breve, ecco la soluzione applicando De l’Hôpital:
\( \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln x}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0 \)
Cordiali saluti
Giuseppe
Giuseppe