Alcuni di voi mi hanno scritto chiedendo delucidazioni sul concetto di "o piccolo" e, collegato a questo, sull'esercizio 8 della raccolta di problemi ed esercizi relativi alle unità 8-9.

Partiamo dalla definizione formale e cerchiamo di capirla. Date due funzioni f(x) e g(x) e un punto di accumulazione (finito o infinito) x₀ dell'insieme di definizione delle due funzioni, diciamo che "f(x) è "o piccolo" di g(x) per x che tende a x₀" e scriviamo come segue:

\( f(x) = \mathop{}\mathopen{}{\scriptstyle\mathcal{O}}\mathopen{} \left(g(x)\right) \)

se il limite per x che tende a x₀ del rapporto di f(x) su g(x) è uguale a zero, in simboli:

\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)

Facciamo un esempio:
a) per x che tende a 0, x⁴ è o piccolo di x² (e in effetti x⁴ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x²);
b) per x che tende a infinito, accade invece esattamente il contrario: è x² ad essere o piccolo di x⁴ (e infatti x⁴ è un infinito di ordine superiore rispetto a x²).

E in effetti nel primo caso x⁴ assume valori trascurabili rispetto a (molto minori di) quelli che vi restituisce x². Se prendete dei valori vicini a 0, es. 0,01, la prima funzione vi restituisce: 0.00000001 mentre la seconda 0.0001. Se poi andate ancora più vicino a zero, es. 0.00001, la prima funzione vi restituisce: 1*10^-20 (un 1 con 20 zero davanti) mentre la seconda 1*10^-10 (un 1 con 10 zero davanti). Dieci miliardesimi più piccolo...

Nel caso (b) accade invece esattamente il contrario. Se prendiamo x=100, x⁴ restituisce 100.000.000 mentre x² restituisce 10.000. Se prendiamo  x=100.000,  x⁴ restituisce 1*10²⁰ (un 1 seguito da 20 zero, ovvero 100 miliardi di miliardi) mentre la seconda 1*10¹⁰ (un 1 seguito da 10 zero, ovvero 10 miliardi). 10 miliardi sembrano tanti ma se confrontati con 100 trilioni praticamente sono un nulla...

L'idea è tutta lì e per verificare che f(x) è o piccolo di g(x) per x che tende a x₀ è sufficiente verificare che questo limite sia soddisfatto:

\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)

Infine faccio notare che, dato che per una funzione infinitesima f(x) per x che tende a x₀ è vero quanto segue:

\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{1} = \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \)

allora il fatto che la funzione sia infinitesima per x che tende a x₀ può essere anche espresso come segue:

\( f(x) = \mathop{}\mathopen{}{\scriptstyle\mathcal{O}}\mathopen{} \left(1\right) \)

Spero così sia più chiaro.

Cordiali saluti
Giuseppe